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Euler-Lagrange方程式の座標変換不変性

Euler-Lagrange方程式
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
\]

は、座標系 q を別の座標系 Q に変換しても不変であるという話。

最小作用の原理で考えれば、
変分を q で動かそうが、Q で動かそうが、
作用が最小になるところを探すのに変わりはないので、
同じ形になって当然なわけです。

・・・が、そういわれて、
「はい、そうですか!」と納得できる人はいいんですが(笑)
僕はすんなり納得できないタイプなので(汗)、
実際にそうなっているかを確かめてみます。

点変換  
\[
Q_i = Q_i (q_1, q_2, \cdots )
\]

を考える。

時間に陽に依存してもいいのかもしれませんが、
時間に陽に依存しないとしておく。

さらに、点変換は可逆であるとしておく。
つまり、逆変換
\[
q_i = q_i (Q_1, Q_2, \cdots )
\]

が存在するとする。
ヤコビ行列式 $|\partial Q/\partial q| \neq 0$ の状況。

このような仮定のもとに、新しい Q がEuler-Lagrange方程式
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} - \frac{\partial L}{\partial Q} = 0
\]

を満たすことを確認する。

ここで、新しいラグランジアンは、
\[
L = L(Q, \dot{Q}, t) = L(q(Q), \dot{q}(Q, \dot{Q}), t)
\]
というように考える。
Lの関数形は当然変わるので、厳密には、L'などと書かなければならないが、
Lと書くことにする。

Q と Q' に関する微分は、
\[
\frac{\partial L}{\partial Q_i}
= \frac{\partial L}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial Q_i}
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial Q_i}
\]\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_i}
= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial \dot{Q}_i}
\]
(仮定より、q は Q'によらないから、第二式に q の項はない)

q の時間微分を考えると、
\[
\dot{q}_j = \frac{\partial q_j}{\partial Q_k} \dot{Q}_k
\]

上式の 偏微分は Q にのみ依存するから、
\[
\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial Q_i}
= \frac{\partial q_j}{\partial Q_i \partial Q_k} \dot{Q}_k
\]\[
\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial \dot{Q}_i}
= \frac{\partial q_j}{\partial Q_i}
\]

あとは、書くのが面倒だから、省略しますが、
これらの関係を使って単純に計算すると、
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_i} - \frac{\partial L}{\partial Q_i}
= \frac{\partial q_j}{\partial Q_i}
\left[ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} \right]
\]
なる式が出ます。

$\partial q_j/\partial Q_i$のところがヤコビ行列になっていて、
正則であるという条件をつけたので、
Q に関するE-L方程式と、q に関するE-L方程式は、同値となることが分かります。

これで、座標変換不変性は納得できるわけですが・・・
q とq'が時間微分の関係になっているので、
導出がとても複雑な感じに見えてしまうものの、
考えてみたら、要するに、

qの関数 f(q) を Qの関数 f(Q) に変数変換した時に、
\[
\frac{\partial f}{\partial Q}
= \frac{\partial q}{\partial Q} \frac{\partial f}{\partial q}
\]

となるってだけの話ですね!
そうやって考えると、容易に納得できます(笑)


参考文献
[1] 宮崎 州正 「解析力学」講義資料 
http://ocw.tsukuba.ac.jp/74065de55b667fa430fb726974065b66985e/89e36790529b5b66-2
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/06/04 20:24
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