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ゲージの自由度

結局、未だによく分かりません(汗)

ゲージ変換をしても、物理的に観測できる電磁場は変わらない
というのはもちろん分かるのですが、
何が分からないかというと・・・

物理の視点から離れて、純粋に数学として式を見た場合の
未知数の個数と、式(条件)の個数の関係。


何を決めれば、何が決まるのか。
自由度とはいったい数学で言うところの何なのか?


とりあえず、「EMANの物理学」さんの掲示板でこんな質問をしてみて、
有識者の方からいろいろご意見いただけて、参考にはなったのですが、
まだ消化不良で、全然すっきりとはしておりません。

偏微分方程式論やベクトル場の理論があんまり分かってないからなんでしょうね。

たとえば、u(x,y) に対する偏微分方程式 

∂u/∂x = 0

があるとすると、

u = f(y) (fは任意関数)

となり、1階の偏微分方程式からは、1個の任意関数が出てくる。
境界条件を指定してやると、その任意性が取り除かれる。

そういった一般論を積み上げて、
どういう条件を決めれば、どこまで解が決まるのか
といった統一的理解が得られないかと。

・・・と書いていて、今ようやく気づいたんですが(汗)、
未知数の個数と条件の個数だけでなく、階数も考慮しないといけないですね!

あとは、境界条件を決めても、解が一意に決定される場合とされない場合がありますね。

たとえば、ラプラス方程式 △Ψ = 0 は、正則な解を仮定して、
境界で0を仮定すると、Ψ = 0 という解に決まるようです。

にわか勉強で怪しいのですが、最大値・最小値の原理から
必ず、境界で最大値・最小値を取るので、
そうなると、任意の点で0にならざるを得ないというわけです。

でも、無限遠のような境界条件でもそれはOKなんだろうか???

一方、波動方程式 □Ψ = 0 の場合は、
境界0を仮定しても、離散的な周波数の波動解の任意性が残りそうですよね。

それも、無限遠境界だと、だめなような気が(汗)
場の量子化を考える時には、周期的境界条件を使うのでOKなんでしょうけど。

ベクトル場になってくると、どう考えたらいいんでしょう?

たとえば、マックスウェル方程式を満たす電磁場が
どのような境界条件や初期条件から一意に決まるのかといったこと。

無限遠で急速に0になることを仮定して、
ヘルムホルツの定理を使って、渦なしの場と発散なしの場に分解すると、
何か分かるでしょうか?

不勉強ゆえ、かなりあいまいなことを言っておりますが、
こういったことを統一的にすっきりと理解出来たらなあ・・・
と思っている今日この頃です。

と言いつつ、最近は、仕事の方で、固体物理を勉強しなくてはいけないので、
あんまり、それどころではないのですが・・・
いろいろと、やることはいくらでもありますね^^;
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/06/20 12:53
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