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2次直交群 O(2)

2次の直交行列がどういう形になるか見てみます。

簡単すぎるので、あんまり本には掲載されてないのですが、
これぐらいのところからやった方が僕には理解が進むので・・・
ほとんど我流なので、正しいかどうか不明です。

行列を
\[
A = \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]
= [ {\bf a}_1 {\bf a}_2 ]
\]
とおく。

直交行列の条件から、
\[
|{\bf a}_1|^2 = a^2 + c^2 = 1
\]\[
|{\bf a}_2|^2 = b^2 + d^2 = 1
\]\[
{\bf a}_1 \cdot {\bf a}_2 = ab + cd = 0
\]

上の2式から、
\[
a = \cos\theta, \hspace{1cm} c = \sin\theta
\]\[
b = \cos\phi, \hspace{1cm} d = \sin\phi
\]
とおける。

残りの式に代入すると、
\[
\cos\theta \cos\phi + \sin\theta \sin\phi = 0
\]

加法定理を用いて、
\[
\cos(\theta - \phi) = 0
\]
\[
\therefore \phi = \theta \pm \frac{\pi}{2} + 2n\pi
\]

(1)符号+の場合
\[
b = -\sin\theta, \hspace{1cm} d = \cos\theta
\]\[
A = \left[
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right]
\]
これは、
(1,0)→(cosθ, sinθ)
(0,1)→(-sinθ, cosθ)
に移すので、原点周りの角度θの回転を表す。

(2)符号-の場合
\[
b = \sin\theta, \hspace{1cm} d = -\cos\theta
\]\[
A = \left[
\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta \\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{array}
\right]
\]
これは、
(1,0)→(cosθ, sinθ)
(0,1)→(sinθ, -cosθ)
に移すので、x軸に対して角度θ/2傾いた軸に対する鏡映を表す。

行列式を計算すると、
(1)の場合は、$\det A = 1$
(2)の場合は、$\det A = -1$

よって、特殊直交群 SO(2)は、(1)の形になる。

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2013/06/28 00:43
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