FC2ブログ

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

内積を保存する変換 (1)

ここからの展開は、完全に我流なので、考え方自体かなり怪しいです。
くれぐれも、内容ご注意ください!

ユークリッド内積を保存する直交変換に続いて、
ミンコフスキー内積を保存するローレンツ変換について
考えていきたいので、一般に、
内積を保存する変換というものを考えてみたいと思います。

考えてみると、
ミンコフスキー内積は、
正値性 \( (x, x) \geq 0 ({\rm for} {}^\forall x ) \) を有していないので、
普通の線形代数の教科書に出てくるような通常の「内積」の定義とは異なるようです。

そこで、正値性は要求しないことにします。

計量を G として、
内積は、
\[
(x, y) = x^TGy
\tag{1}
\]

非退化ではない内積なんてものも存在するのか分かりませんが、
とりあえず、非退化性を仮定して、Gは正則とします。

ユークリッド内積の場合は、G = E (単位行列)
ミンコフスキー内積の場合は、G = diag (1, -1, -1, -1)

このような内積を保存する変換Aの条件は、
\[
(Ax, Ay) = (x, y)
\tag{2}
\]
より
\[
(Ax)^TG(Ay) = x^TGy
\]
\[
A^TGA = G
\tag{3}
\]

この変換は、群をなすのでしょうか?

(1)積は閉じているか?
\[
(AB)^TG(AB) = B^TA^TGAB = B^TGB = G
\]
閉じているようです。

(2)結合律は自明。

(3)単位元は、単位行列。

(4)逆元は、存在するか?
Gは正則と仮定したので、Aも正則であるから、逆行列 A-1は存在。
この逆行列が変換の条件(3)を満たしているか?

(3)の両辺に左から(AT)-1、右からA-1をかけると、
\[
G = (A^T)^{-1}GA^{-1}
\]

\( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \) だから、
この式はA-1も条件式(3)を満たすことを意味する。

ということで、逆元も存在!

以上から、どうやら群をなすようですね!
ほんとかなあ・・・あんまり、自信ありませんが(笑)

ミンコフスキー内積の場合は、ローレンツ群をなすことが知られてますね。
非退化な一般の内積に対しても、群をなすようです。

このあたりの一般的な話が載っているような本を
持っていないので、あまり自信はありません。
スポンサーサイト
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2013/06/30 15:28
コメント

管理者のみに表示

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。