内積を保存する変換 (2)

引き続き、怪しい展開の続きを・・・笑

計量 $G = (g_{ij})$ で定義された内積を保存する変換 A は、
\[
A^TGA = G
\]
を満たす。

行列 A を構成する列ベクトルを ${\bf a}_i$ とすると、
\[
({\bf a}_i, {\bf a}_j) = g_{ij}
\]
と書ける。

ただし、ここでいう内積は計量Gで定義された内積であることに注意。

この式は、直交行列（ユークリッド内積）の場合には、
$g_{ij} = \delta_{ij}$ となるので、
列ベクトル同士が正規直交性を示すことに相当している。

行列Aの列ベクトル ${\bf a}_i$ は、
第i成分だけが１の単位列ベクトル ${\bf e}_i = (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0)^T$
をAで変換したもの $A{\bf e}_i$ に他ならないので、
\[
g_{ij} = ({\bf e}_i, {\bf e}_j)
\]
であることと考え合わせると、
\[
({\bf a}_i, {\bf a}_j) = (A{\bf e}_i, A{\bf e}_j) = ({\bf e}_i, {\bf e}_j)
\]
というように、単位ベクトル同士の内積が変換後も保存されていることを
示していることになる。