FC2ブログ

ab = 0 ⇔ a = 0 または b = 0

なんとなく、気が向いたので、これを証明してみようと・・・笑

中学の時から当然のように使っている定理ですよね。

たとえば、2次方程式 $x^2 - 1 = 0$を解く時に、
$(x+1)(x-1) = 0$ より、$x=1$ または $x=-1$
という論理展開で求めています。

あまりこういう数学っぽい証明は得意じゃないのと、
我流なので、間違ってるかもしれませんが・・・

複素数の場合でも同じでしょうけど、
実数としておきます。

0の定義は、加法単位元とします。
すなわち、任意の実数 a に対して、
\[
a + 0 = 0 + a = a \tag{1}
\]
が成立。

これが乗法吸収元であることをまず示します。
すなわち、任意の実数 a に対して、
\[
a0 = 0a = 0 \tag{2}
\]
が成立することを示します。

証明
加法単位元の性質(1)で、a = 0 とすると、
\[
0 + 0 = 0
\]
この両辺にaをかけると、
\[
(0 + 0)a = 0a
\]
分配律(実数の公理)を用いて、(←7/12 追記)
\[
0a + 0a = 0a
\]
実数の公理から、0a の加法逆元 -0a が存在するから、それを両辺に加えて、(←7/12 追記)
\[
0a + 0a + (-0a) = 0a + (-0a)
\]
ゆえに、
\[
0a = 0
\]

$a0 = 0$については、乗法の可換性(実数の公理)から成立。
よって、(2)が証明できました。

次に、本題の定理を証明します。

→の証明
$a=0$と$a\neq 0$の場合で場合分けする。

$a=0$の時は、明らかに成立。

$a\neq 0$の場合。
実数の公理から乗法の逆元 $a^{-1}$が存在。
$ab = 0$の両辺に$a^{-1}$を乗ずると、$b = a^{-1}0$
吸収元の性質(2)を用いて、$b = 0$

←の証明
$a=0$または$b=0$が成立する。
いずれの場合も、吸収元の性質(2)から、$ab=0$

以上で証明終了。

慣れない数学的証明ですけど、頭の訓練になりますね。
スポンサーサイト



ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2013/07/12 00:52
コメント

管理者のみに表示