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電磁波

古典電磁気の記事がなかなか進みませんね^^;

少しおさらいしておくと・・・
単位系に依存しないマックスウェル方程式が導出できました。
\[
\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi k_1 \rho \tag{1}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
= 4\pi k_2\alpha {\bf j} \tag{2}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{3}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{4}
\]

そして、係数の依存関係を求めていました。
依存関係は2つあって、
一つ目は、電磁誘導のガリレイ不変性から求めた
\[
k_3 = \frac{1}{\alpha} \tag{5}
\]
という関係。

もう一つが今日の話。
真空中のマックスウェル方程式から電磁波の方程式を導出して、
電磁波の速さを真空中の光速 c と結びつけます(光速は定数)。

真空中ということで、ρ = 0、j = 0 としたマックスウェル方程式を考える。

\[
\nabla \cdot {\bf E} = 0 \tag{6}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
= 0 \tag{7}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{8}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{9}
\]

式(9)の回転を取る。
\[
\nabla\times\nabla\times{\bf E} + k_3 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times{\bf B}) = 0 \tag{10}
\]

この式の左辺第一項は、式(6)を用いて、
\[
\nabla \times \nabla \times {\bf E} = \nabla(\nabla\cdot{\bf E}) - \nabla^2{\bf E} = -\nabla^2{\bf E}
\tag{11}
\]

左辺第二項には、式(7)を代入して、
\[
k_3 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times{\bf B})
= \frac{k_2 k_3 \alpha}{k_1}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2}
\tag{12}
\]
式(5)の関係から、
\[
k_3 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times{\bf B}) = \frac{k_2}{k_1}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2}
\tag{13}
\]

これらをまとめると、
\[
\nabla^2{\bf E} -\frac{k_2}{k_1}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2} = 0
\tag{14}
\]
という電磁波の方程式ができる。

速度 v の波動を表す一般の波動方程式
\[
\nabla^2\psi - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = 0
\tag{15}
\]
と比較すると、
光速 c と係数の間に
\[
c^2 = \frac{k_1}{k_2}
\]
すなわち、
\[
k_1 = c^2 k_2 \tag{16}
\]
という依存関係があることが分かる。

これで2つの依存関係が求められたので、
これらをもとに、次回は、独立な係数を2つに減らした
マックスウェル方程式を記述しようと思います。

参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/07/26 00:13
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