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電磁場のエネルギー

前回の独立変数を減らしたマックスウェル方程式の記事は、
あんまり意味なさげだったので、削除しました。
「単位系に依存しないマックスウェル方程式(1)」の記事で導出した
もともとの式の方が意味が分かりやすいので、そちらを使おうと思います。

さて、各種単位系の式を導く前に、
ついでに、電磁場のエネルギー電磁ポテンシャルの単位系に依存しない式も
用意しておきたいので、もう少しだけ、おつきあいを!(汗)

このあたりの式変形は、どの教科書にも出てるようなものですが、
単位系に依存しないように係数を残したまま
変形している例は見当たらなかったので、いつも通りご注意ください^^;

マックスウェル方程式のこの2式
\[
\nabla \times {\bf B} = \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
+ 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{1}
\]\[
\nabla \times {\bf E} = -k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
\tag{2}
\]
を使うと、

\[
{\bf B} \cdot (\nabla \times {\bf E}) - {\bf E} \cdot (\nabla \times {\bf B}) \\
= -k_3 \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{{\bf B}^2}{2} \right)
- \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{{\bf E}^2}{2} \right)
- 4\pi k_2\alpha {\bf E} \cdot {\bf j}
\tag{3}
\]
となる。

この左辺は、
\[
{\bf B} \cdot (\nabla \times {\bf E}) - {\bf E} \cdot (\nabla \times {\bf B})
= \nabla \cdot ({\bf E} \times {\bf B})
\tag{4}
\]
と書きなおせる。

さらに、右辺の時間微分の項をまとめて整理すると、
\[
\frac{1}{8\pi} \frac{\partial}{\partial t} \left[
\frac{{\bf E}^2}{k_1} + \frac{k_3 {\bf B}^2}{k_2\alpha} \right]
= - \frac{1}{4\pi k_2\alpha} \nabla\cdot({\bf E} \times {\bf B})
- {\bf E} \cdot {\bf j}
\tag{5}
\]
となる。

ここで、
\[
u \equiv \frac{1}{8\pi}\left[
\frac{{\bf E}^2}{k_1} + \frac{k_3 {\bf B}^2}{k_2\alpha} \right]
\tag{6}
\]
\[
{\bf S} \equiv \frac{1}{4\pi k_2\alpha} {\bf E} \times {\bf B}
\tag{7}
\]
とおくと、
\[
\frac{\partial u}{\partial t} = - \nabla\cdot{\bf S} - {\bf E}\cdot{\bf j}
\tag{8}
\]
と書け、
${\bf E}\cdot{\bf j}$はジュール熱によるエネルギー損失を表すので、
${\bf S}$は、電磁波によるエネルギーの流れであるポインティングベクトル
$u$は、電磁場のエネルギー密度を表すと解釈できる。

これで、電磁場のエネルギー密度の式が得られました。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/08/08 23:56
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