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電磁ポテンシャル

続いて、電磁ポテンシャルの表現を求めます。

まずは、マックスウェル方程式の
\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{1}
\]
から、磁場${\bf B}$はベクトルポテンシャル${\bf A}$を用いて、
\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A} \tag{2}
\]
と表せる。

次に、この式をマックスウェル方程式の
\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{3}
\]
に代入すると、

\[
\nabla \times \left( {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t} \right) = 0
\tag{4}
\]
となるから、スカラーポテンシャル$\phi$を用いて、

\[
{\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t} = -\nabla \phi
\tag{5}
\]
と表せる。

ここで負号をつけたのは、静電場の場合($\partial/\partial t = 0$)、
\[
{\bf E} = -\nabla \phi
\]
となって、$\phi$が静電ポテンシャルと一致するようにするためである。

結局、電場は、
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{6}
\]
と表せることになる。

以上をまとめると、電場と磁場は、
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\]
のように電磁ポテンシャルを使って表現できる。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/08/09 00:25
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