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測定と期待値

Google様のトップページのデザインによると、
数日前の8/12は、シュレディンガーの誕生日だったようです。

あやかって、量子論の勉強などすればよかったのですが、
ピアノや遊びにかまけてしまいました・・・汗
というわけで、せっかくなので、久しぶりに量子論の続きを。

測定と期待値の話。

状態 |α> に対して、演算子Aに関する測定をすると、
測定値はどうなるかという話。

測定を行うと、状態はどれか一つの固有ケット |a'> に変化してしまい、
その時に、測定される測定値は、その固有ケットに対する固有値 a' となる。

どの固有値が測定値となるかは、確率的に決まる。
その確率はどのように決まるかというと・・・

状態 |α> を 演算子Aの固有ケット|a>で展開する。

\[
|\alpha\rangle
= \sum_{a'} c_{a'} |a'\rangle
= \sum_{a'} |a'\rangle \langle a'| \alpha\rangle
\tag{1}
\]

固有値 a' が測定される確率は、
元の状態|α>が規格化されているならば、
その展開係数 ca' の絶対値の2乗に等しい。


これは量子論における原理であって、証明されるものではありません。

この考え方は、「コペンハーゲン解釈」と呼ばれる現在、最も主流となっている解釈ですが、
他にもいろんな考え方が議論されているようで、まだ解決に至ってない問題のようですね。

これによると、a' が測定される確率は Pa' は、
\[
P_{a'} = |\langle a'|\alpha \rangle|^2
\tag{2}
\]
となる。

すべての固有値に対して、確率を足し合わせると1になることは、
|α>は規格化されていることと、

\[
\langle \alpha | \alpha \rangle
= \sum_{a'}\sum_{a''} \langle \alpha|a'\rangle\langle a'|a''\rangle\langle a''|\alpha\rangle
\\ = \sum_{a'} |\langle a'|\alpha\rangle|^2
= \sum_{a'} P_{a'}
\]

から確かめられる。

次に、期待値はどうなるか。
期待値 <A>は、次のようになる。

\[
\langle A \rangle = \langle \alpha|A|\alpha\rangle
\tag{3}
\]

なぜなら、
\[
\langle \alpha|A|\alpha\rangle
= \sum_{a'}\sum_{a''} \langle \alpha|a'\rangle \langle a'|A|a''\rangle\langle a''|\alpha\rangle
\\ = \sum_{a'} a' |\langle a'|\alpha \rangle|^2
= \sum_{a'} a' P_{a'}
\]

というわけで、
期待値を求めるには、演算子を状態ケットと状態ブラで挟めばよい。
うまくできてますよね!

参考文献
[1] J.J.Sakurai "Modern Quantum Mechanics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>量子力学 | コメント(0) | 2013/08/16 12:55
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