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古典場のラグランジュ形式

場の考え方に基づいたラグランジュ形式を導入する。

質点系の場合のラグランジュ形式では、
ラグランジアンを質点の位置 q とその時間微分 q' の関数として、
\[
L = L(q, \dot{q}, t)
\tag{1}
\]
と定義して、変分原理
\[
\delta S = \int \delta L dt = 0
\tag{2}
\]
から、オイラー・ラグランジュ方程式
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}
\tag{3}
\]
が導かれる。

これと同様のことを場に対して行う。
質点系の場合は、
\[
\delta L = \frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}
\tag{4}
\]
であるが、場の場合は、ラグランジアンが
\[
L = \int \mathscr{L}(\psi, \nabla\psi, \dot{\psi}, t) d{\bf r}
\tag{5}
\]
というように、ラグランジアン密度が空間積分された形になっているので、
汎関数微分を使う必要があって、
\[
\delta L = \int \left[ \frac{\delta L}{\delta \psi}\delta \psi
+ \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \delta \dot{\psi} \right] d{\bf r}
\tag{6}
\]
となる。

変分原理の条件 $\delta S = 0$ は、
\[
\iint \left[ \frac{\delta L}{\delta \psi}\delta \psi
+ \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \delta \dot{\psi} \right] d{\bf r} dt = 0
\tag{7}
\]
となる。

あとは、質点系と同様に、$\delta\dot{\psi} = \partial/\partial t(\delta\psi)$ に注意して、
第2項の時間積分において部分積分を用いて、
(端点固定の条件から時間積分の境界値は0)
\[
\iint \left[ \frac{\delta L}{\delta \psi}
- \frac{\partial}{\partial t} \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \right] \delta\psi d{\bf r} dt = 0
\tag{8}
\]
と変形できる。

空間各点における任意の変分δΨに対して上式が成立することから、
以下のオイラー・ラグランジュ方程式が導かれる。
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} = \frac{\delta L}{\delta \psi}
\tag{9}
\]

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下巻)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/08/21 13:13
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