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古典場のラグランジュ形式 (2)

前回導入した古典場のラグランジュ形式
汎関数微分のところを具体的に、ラグランジアン密度を用いて表現しておきます。

系全体のラグランジアンは、ラグランジアン密度を使って、
\[
L = \int \mathscr{L}(\psi, \nabla\psi, \dot{\psi}, t) d{\bf r}
\tag{1}
\]
と書けるので、変分δΨに対するラグランジアンの変化は、
\[
\delta L = \int \left[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}\delta\psi
+ \sum_{x,y,z} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
\delta\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)
+ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}\delta\dot{\psi}
\right] d{\bf r}
\tag{2}
\]
となる。
和は、x を x, y, z に置き換えたものすべてについて和を取るという意味。

ここで、
\[
\delta\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)
= \frac{\partial}{\partial x}\delta\psi
\tag{3}
\]
であることに注意すると、
$\partial\psi/\partial x$ に関する和の項は、部分積分することができ、
結果として出てくる表面積分は、無限遠境界あるいは周期的境界で0となるから、

\[
\delta L = \int \left[
\left\{ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}
- \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)} \right\}
\delta\psi
+ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}\delta\dot{\psi}
\right] d{\bf r}
\tag{4}
\]

一方で、汎関数微分で表現したラグランジアンの変化は、
\[
\delta L = \int \left[
\frac{\delta L}{\delta \psi}\delta \psi
+ \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \delta \dot{\psi}
\right] d{\bf r}
\tag{5}
\]
となるから、(4)と(5)を見比べて、各汎関数微分の具体的表現は以下のようになる。

\[
\frac{\delta L}{\delta \psi} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi}
- \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)}
\tag{6}
\]\[
\frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}}
\tag{7}
\]

参考文献
[1]シッフ「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/08/22 19:30
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