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ハミルトン形式

ハミルトン形式は、まだ質点系についても書いていなかったので、
まずは、質点系のハミルトン形式について。

ラグランジュ形式では、位置 q とその時間微分 q' を変数として取っていたが、
実際には、q'(t) は q(t) の時間微分になっているという依存関係があり、
いろいろとめんどくさいので(笑)、
q' の代わりに、まったく新しい変数 p を用意して、
q と p という独立変数の組で運動を記述してしまえというのが基本的発想!


まず、ラグランジアンは、
\[
L = L(q(t), \dot{q}(t), t)
\tag{1}
\]
と書けるとする。

ここで、q(t) は、自由度N個の場合の qi(t) (i=1,2...,N)について
代表して表記している。

変数 qi に対する次の量を正準運動量 pi として導入する。
\[
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}
\tag{2}
\]

この式を逆に解いて、
\[
\dot{q}_i = \dot{q}_i(q, p, t)
\tag{3}
\]
と表せると仮定すると、q' をすべて、p に置き換えてしまうことができる。

そこで、次のような関数を考え、
\[
H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t)
\tag{4}
\]
(3)を使って、q' を p に置き換えたものを考えると、H は
\[
H = H(q, p, t)
\tag{5}
\]
と表され、q と p だけの関数となる。
この関数をハミルトニアンと呼ぶ。

このハミルトニアンが満たすべき運動方程式を導く。

q と p の変化に対するハミルトニアンの全微分を考えると、
\[
dH = \sum_i ( \dot{q}_i dp_i + p_i d\dot{q}_i )
- \frac{\partial L}{\partial q_i} dq_i
- \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i
\tag{6}
\]

(2)を使うと、(6)の第2項と第4項は相殺される。
また、Lはオイラー・ラグランジュ方程式を満たすから、
\[
\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}
\tag{7}
\]
となるので、(6)は結果的に、
\[
dH = \sum_i (\dot{q}_i dp_i - \dot{p}_i dq_i )
\tag{8}
\]
と書ける。

これより、以下のハミルトン形式の運動方程式(正準方程式)が導かれる。
\[
\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}
\tag{9.1}
\]\[
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
\tag{9.2}
\]

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/08/23 20:46
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