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ハミルトン形式における物理量の時間変化

質点系の話。
ある物理量 A が位置 q、正準運動量 p、時間 t に依存しているとして、
その物理量の時間変化がどうなるかをハミルトン形式で眺めてみる。
\[
A = A(q, p, t)
\tag{1}
\]

時間依存性は、t に陽に依存する部分と、q(t)、p(t)を介して依存する部分があるので、
時間微分を行うと、
\[
\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t}
+ \sum_i \left[ \frac{\partial A}{\partial q_i} \dot{q}_i
+ \frac{\partial A}{\partial p_i} \dot{p}_i \right]
\tag{2}
\]
となる。

正準方程式を用いて、$\dot{q}$と$\dot{p}$を置き換えると、
\[
\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t}
+ \sum_i \left[ \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i}
- \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i}
\right]
\tag{3}
\]
と書きなおせる。

ここで、ポアソン括弧と呼ばれる以下の表式を導入すると、
\[
\{ A, B \} = \sum_i \left[
\frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i}
- \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i}
\right]
\tag{4}
\]
(3)で表された物理量Aの時間変化は、
\[
\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \{ A, H \}
\tag{5}
\]
と表すことができる。


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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2013/09/12 12:38
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