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古典場のハミルトン形式における物理量の時間変化

質点系でやったのと同じことを場の形式に適用します。

ある物理量 F が 場 ψ と 正準運動量 π の汎関数になっているとする。
\[
F(\psi, \pi, t) = \int \mathscr{F}(\psi, \pi, \nabla\psi, \nabla\pi, t) d{\bf r}
\tag{1}
\]

この物理量がどのように時間変化するかを古典場のハミルトン形式で考える。
方法は、質点系とまったく同じ。
汎関数なので、微分が汎関数微分になるだけ。

時間微分すると、
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t}
+ \int \left[
\frac{\delta F}{\delta \psi} \dot{\psi} + \frac{\delta F}{\delta \pi} \dot{\pi}
\right] d{\bf r}
\tag{3}
\]

正準方程式を使って、$\dot{\psi}$ と $\dot{\pi}$ を置き換えると、
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t}
+ \int \left[
\frac{\delta F}{\delta \psi} \frac{\delta H}{\delta \pi}
- \frac{\delta F}{\delta \pi} \frac{\delta H}{\delta \psi}
\right] d{\bf r}
\tag{4}
\]

ここで、場の形式でのポアソン括弧を
\[
\{A, B \} = \int \left[
\frac{\delta A}{\delta \psi} \frac{\delta B}{\delta \pi}
- \frac{\delta A}{\delta \pi} \frac{\delta B}{\delta \psi}
\right] d{\bf r}
\tag{5}
\]
というように定義すれば、質点系とまったく同じ形になる。
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \{ F, H \}
\tag{6}
\]

これまで、単一の場に依存するケースばかりを考えてきましたが、
複数の独立な場に依存している場合は、
ポアソン括弧を
\[
\{A, B \} = \sum_i \int \left[
\frac{\delta A}{\delta \psi_i} \frac{\delta B}{\delta \pi_i}
- \frac{\delta A}{\delta \pi_i} \frac{\delta B}{\delta \psi_i}
\right] d{\bf r}
\tag{7}
\]
と定義してやれば同じ形になります。

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/09/12 13:08
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