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単位系に依存しないマックスウェル方程式 (2)

場の量子化の話はちょっとひと休みして、久しぶりに古典電磁気の話。

単位系に依存しないマックスウェル方程式を各種単位系に対応づけたいと思います。

これまでに導出したマックスウェル方程式は、こんな感じ。

\[
\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi k_1 \rho
\tag{1.1}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{1.2}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]

4つの係数、k1, k2, k3, αの間には、
以下の2つの依存関係がありました。

電磁誘導のガリレイ不変性から、
\[
k_3 = \frac{1}{\alpha}
\tag{2}
\]
電磁波の速度が光速(定数)であるということから、
\[
k_1 = c^2 k_2
\tag{3}
\]

単位系に依存しない電磁場のエネルギーの表式は、
\[
u = \frac{1}{8\pi}\left[ \frac{{\bf E}^2}{k_1} + \frac{k_3 {\bf B}^2}{k_2\alpha} \right]
\tag{4}
\]

単位系に依存しない電磁ポテンシャルの表式は、
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{5.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{5.2}
\]

さて、各種単位系における係数の値をまとめると、こんな感じになります。

単位系k1k2αk3
CGS静電11/c211
CGS電磁c2111
CGSガウス11/c2c1/c
ヘヴィサイド・ローレンツ1/4π1/4πc2c1/c
MKSA1/4πε0 = 10-7c2μ0/4π = 10-711


上のマックスウェル方程式や電磁ポテンシャル、電磁場のエネルギーの表式に
この係数を代入してやれば、所望の単位系での表式が得られる!
ってわけですね。

次回から、理論系の本でよく使われるCGSガウス、ヘヴィサイド・ローレンツ、MKSA(SI)
の3つの単位系について、実際の式の形を書いていこうかと思っています。

その後、これを相対論的な4元形式にしたいなと思っているのですが、
単位系に依存しない形で4元形式にしたマックスウェル方程式を見たことがないので、
できるかどうか分かりません^^;
(見たことないということは、ひょっとしたら、根本的にできないのかも・・・)

参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/09/13 13:31
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