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2次元のローレンツ変換 (2)

2次元のローレンツ変換の記事では、
ミンコフスキー計量を保存する変換として、ローレンツ変換を導出しましたが、
逆に、ローレンツ変換がミンコフスキー計量を不変にすることを
確認しておこうと思います。

出発点は、こちらのローレンツ変換。
\[
A = \left[ \begin{array}{cc}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta\gamma & \gamma
\end{array} \right]
\tag{1}
\]

もちろん、ほんとは4次元で考えて、
\[
A = \left[ \begin{array}{cccc}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
\tag{2}
\]
というものを考えているわけですが、書くのが面倒なので、
t 成分と x 成分のみを取り出しているわけです。

ミンコフスキー計量は、
\[
G = \left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right]
\tag{3}
\]
であり、これが保存されるというのは、こちらの記事で示した通り、
\[
A^T G A = G
\tag{4}
\]
を示せばよいわけですね。

計算してみると、
\[
A^T G A
= \left[ \begin{array}{cc}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta\gamma & \gamma
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta\gamma & \gamma
\end{array} \right] \\
= \left[ \begin{array}{cc}
\gamma^2(1-\beta^2) & 0 \\
0 & -\gamma^2(1-\beta^2)
\end{array} \right]
\]

ここで、γの定義式
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\tag{5}
\]
を用いれば、最終結果は G となり、式(4)が示されます。

ということで、
ローレンツ変換がミンコフスキー計量を不変にすることが確認できました。

追記(9/26):ここで確認したのは、本義ローレンツ変換の場合だけでした。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/09/13 19:15
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