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正準量子化

場の量子化の話ですが、これまで、
古典論を質点系から場の形式に書き改めてきましたが、
いよいよ量子化に入ろうと思います。

これから述べる手続きは「正準量子化」と呼ばれていて、
ちゃんと本質を理解するにはもっともっと勉強しなきゃいけないんだと思うのですが、
とりあえず、現時点で分かる範囲ということで・・・汗

まずは、質点系の量子化を考える。

質点系の場合、古典論では、この記事にある通り、
位置と運動量の関数で表された物理量 F(q, p, t) の時間発展は以下のように表される。
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \{ F, H \}
\tag{1}
\]

一方、量子力学では、これらの変数をハイゼンベルク描像における演算子と考えると、
ハイゼンベルクの運動方程式
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [ F, H ]
\tag{2}
\]
が成立する。

ここで、[ ] は交換子。
つまり、
\[
[ A, B ] = AB - BA
\tag{3}
\]
を表す。

この導出は、まだ「量子力学」カテゴリの方では記事にしてませんでしたが、
いつか記事にしたいと思います。

両者を比較すると、量子論的な対応物を与えるためには、
ポアソン括弧を交換子(ディラック括弧)で置換して、$i\hbar$で割ればよいということになる。
\[
\{ A, B \} \rightarrow \frac{1}{i\hbar} [ A, B ]
\tag{4}
\]

シッフ[1]によると、このことは、
ポアソン括弧と交換関係の代数的性質の類似性から来る
ということをディラック[2]が証明しているそうで、
その本は持っているので、今度見てみたいと思います。

これとのアナロジーで、場の場合を考える。
古典場では、この記事にある通り、
場とその共役運動量の汎関数として表された物理量 F(Ψ,π,t) の時間発展は、
式(1)と全く同じ式で表される。
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \{ F, H \}
\tag{5}
\]
ただし、ポアソン括弧の定義が質点系の場合と若干違いますが・・・

これを量子化するには、質点系の時と同じように、
ポアソン括弧を交換子(ディラック括弧)で置換して、$i\hbar$で割ればよい。

つまり、場の場合も、量子化された方程式は、(2)式と同じく、
\[
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [ F, H ]
\tag{6}
\]
となる。

とりあえず、続きは次回。
今日のトピックは、かなり奥が深いところなので、
かなり理解不足で間違ってるところが多そうです・・・汗
ご注意ください!


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
[2] Dirac "The Principles of Quantum Mechanics"
[3] シッフ「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/09/27 20:30
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