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正準交換関係

前回の正準量子化で交換関係を実際に計算するために、
正準変数どうしの交換関係を使います。

質点系では、交換関係は
\[
[ q_i, p_j ] = i\hbar \delta_{ij}
\tag{1.1}
\]\[
[ q_i, q_j ] = [ p_i, p_j ] = 0
\tag{1.2}
\]
でした。

これとのアナロジーで、場の場合の交換関係は、
\[
[ \psi({\bf r}, t), \pi({\bf r}', t) ] = i\hbar \delta({\bf r}-{\bf r}')
\tag{2.1}
\]\[
[ \psi({\bf r}, t), \psi({\bf r}', t) ] = [ \pi({\bf r}, t), \pi({\bf r}', t) ] = 0
\tag{2.2}
\]
となる。
時刻 t は、同時刻で考える。

ということで、もともとのラグランジュ形式やハミルトン形式の運動方程式の形が
全く一緒なのだから、こうなることにそれほど違和感はないのですが、
数学的にどのように導けるのかは、よくわかりません。

ちなみに、シッフ[1]では、空間を離散的な細胞に分けて、
質点系の結果を使って、最後に細胞のサイズを無限小にして、
場に持っていくという方法で説明していますが、
もともと場と質点の対応が数学的にどうなっているのかわからないので、
あんまりすっきりとはしないんですよね・・・

質点系の方の交換関係(1)は、JJサクライ[2]によると、
運動量が無限小並進変換の生成子になっていることから、
並進演算子と運動量演算子を関連付けることによって、
自然に導出しています。

場の場合も同様の考え方で導けるのだろうか?
また、何かわかったら記事にしてみます。

というわけで、ようやく
以前の記事で述べた場の量子化の概観の説明が終わりました!
(ふーっ、長かった!)

次回からは、初めの応用例として、
非相対論的シュレディンガー方程式の量子化に入っていきます。


参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
[2] J.J.Sakurai "Modern Quantum Mechanics"

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2013/10/01 13:17
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