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ヘヴィサイド・ローレンツの美しさ

いよいよ、お待ちかね。
ヘヴィサイド・ローレンツ単位系の美しさに酔いしれようではありませんか!?(笑)

\[
\nabla\cdot{\bf E} = \rho
\tag{1.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{1.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]
え?なんとも感じませんか?
それでは、とりあえず、色を変えてみましょう!
\[
\nabla\cdot{\bf E} = \rho
\tag{1.1}
\]
\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{1.2}
\]
\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]
\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]

こうやって眺めると、赤いペアと青いペアが
E と B に関して、きれいに対称的になっているのが分かると思います。
特に左辺は、時間微分の項の符号を除いて、完全に対称になってますね。
それに対して、右辺はあんまりきれいじゃありません。

下の2つの式の右辺が0になっているのは、
単磁荷(モノポール)は存在しないとされているからです。

もし、単磁荷なるものが存在したとして、それを$\rho_m$とすると、
磁荷の流れである磁流なるものも存在することになり、それを${\bf j}_m$とすると、
マックスウェル方程式は以下のようになります。
\[
\nabla\cdot{\bf E} = \rho
\tag{2.1}
\]
\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{2.2}
\]
\[
\nabla\cdot{\bf B} = \rho_m
\tag{2.3}
\]
\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = -\frac{{\bf j}_m}{c}
\tag{2.4}
\]


こうやってみると、いかがですか?
見事に対称的ですよね!

ただ、単磁荷が存在して、右辺が0でなくなると、
ベクトルポテンシャルが定義できなくなって、それはそれで困るので、
単磁荷はない方がいいのかもしれませんが、
難しいことは僕には分かりません(汗)

とにかく、このHL単位系の美しい式を見てはじめて、
マックスウェル方程式が理解しやすく感じました(笑)
MKSA単位系では、真空の誘電率やら透磁率などがごちゃごちゃ入ってきて、
こんなに美しくは書けないんですよね。

ところで、参考文献のJJサクライ[1]では、
なぜか(2.4)の方の右辺の jm についている 1/c が抜けているのですが、
なぜでしょう?
これがないと、連続の方程式が満たされない気がするのですが、
単なる誤植なんだろうか。
それとも、磁流の定義のしかたの違いなのかも。

参考文献
[1] J.J.Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/10/08 00:07
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