スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

ゲージ変換

単位系に依存しないマックスウェル方程式が記述できましたので、
今後、相対論的な4元形式(ローレンツ共変形)に書き換えていこうと思うのですが、
その前に、いくつか書き忘れていたことを。

まずは、ゲージ変換について。

電磁場は、電磁ポテンシャルを用いて、以下のように表せました。
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{1.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{1.2}
\]

それでは、
ある電磁場を与えると、電磁ポテンシャルは一意に決まるのでしょうか?
答えは、Noです!

電磁場を変えないようにして、ポテンシャルだけを変える変換が存在します。
それがゲージ変換

まず、磁場の方の式 (1.2) に着目すると、
ベクトル解析の恒等式
\[
\nabla \times \nabla \psi = 0
\tag{2}
\]
を考えれば、ベクトルポテンシャル A に任意の関数χの勾配 ∇χ を加えても、
磁場は変化しません。

つまり、
\[
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla \chi
\tag{3}
\]
という変換が許されます。

ところが、電場の式 (1.1) にも A は含まれているから、
電場の方が変化してしまっては困ります。
そこで、スカラーポテンシャル φ の方も同時に変換してしまって、
その変化を相殺してしまおうと考えます。
φをどのように変換すればよいでしょうか?

それを見るために、変換後のφをφ' と書くことにして、
変換後の電場を見てみます。
\[
{\bf E}' = -\nabla \phi' - k_3\frac{\partial {\bf A}'}{\partial t}
\tag{4}
\]

これに、(3)を代入して整理すると、
\[
{\bf E}' = -\nabla \left( \phi' + k_3\frac{\partial \chi}{\partial t} \right)
- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\]

この()の中がφに等しければ、
\[
{\bf E}' = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t} = {\bf E}
\]
となり、電場も変化しないことになるので、結局、
\[
\phi' + k_3\frac{\partial \chi}{\partial t} = \phi
\]
すなわち、求めるゲージ変換は、
\[
\phi' = \phi - k_3\frac{\partial \chi}{\partial t}
\tag{5}
\]

というわけで、φ と A 両方のゲージ変換をまとめておくと、
以下のようになります。
\[
\phi' = \phi - k_3\frac{\partial \chi}{\partial t}
\tag{6.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla \chi
\tag{6.2}
\]

HL、CGSガウスの場合( $k_3 = 1/c$ )
\[
\phi' = \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \chi}{\partial t}
\tag{7.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla \chi
\tag{7.2}
\]

SI(MKSA)の場合( $k_3 = 1$ )
\[
\phi' = \phi - \frac{\partial \chi}{\partial t}
\tag{8.1}
\]\[
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla \chi
\tag{8.2}
\]
スポンサーサイト
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/10/10 12:27
コメント

管理者のみに表示

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。