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電磁ポテンシャルに対するマックスウェル方程式 (1)

続いて、電磁ポテンシャルに対するマックスウェル方程式について。

電磁場に対するマックスウェル方程式は、こちらの記事の通り、
このようになります。
\[
\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi k_1 \rho
\tag{1.1}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{1.2}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]

これを電磁場ではなく、電磁ポテンシャルに対する方程式に書き換える
というのが本日の目標!

電磁場の電磁ポテンシャルによる表現は、以下の通り。
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{2.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{2.2}
\]

上記の記事での導出から明らかなように、
電磁ポテンシャルで表現された電磁場を用いると、
マックスウェル方程式の下の2式 (1.3) (1.4) は自動的に満足されます。

そこで、上の2式 (1.1) (1.2) だけを考えて、
(2.1)、(2.2)を代入すると、
電磁ポテンシャルに対するマックスウェル方程式が得られます。

\[
-\nabla^2\phi - k_3\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A}) = 4\pi k_1\rho
\tag{3.1}
\]\[
\Box {\bf A} + \nabla \left( \nabla\cdot{\bf A} + \frac{\alpha}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t} \right)
= 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{3.2}
\]

ここで、ベクトル解析の公式
\[
\nabla\times\nabla\times{\bf A} = \nabla(\nabla\cdot{\bf A}) - \nabla^2{\bf A}
\]
と $k_1 = c^2 k_2$の関係を使いました。

$\Box$は、ダランベール演算子で、
\[
\Box \equiv \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2
\]
と定義されます。
逆符号で定義される場合がありますが(過去記事では逆符号にしていたこともあったかも・・・)
ミンコフスキー計量の符号との対応を考えて、これからはこの符号で定義したいと思います。

次回は、クーロンゲージとローレンツゲージに対して、
マックスウェル方程式を記述します。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/10/11 13:33
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