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電磁ポテンシャルに対するマックスウェル方程式 (2)

前回記事で、電磁ポテンシャルに対するマックスウェル方程式を導きました。
今回は、ゲージ変換の自由度を使って、条件を加えて、式を簡単にしていきます。

まずは、前回得られた結果から。
\[
-\nabla^2\phi - k_3\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A}) = 4\pi k_1\rho
\tag{1.1}
\]\[
\Box {\bf A} + \nabla \left( \nabla\cdot{\bf A} + \frac{\alpha}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t} \right)
= 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{1.2}
\]

クーロンゲージ

以下の条件を課したものがクーロンゲージ
\[
\nabla \cdot {\bf A} = 0
\tag{2}
\]

マックスウェル方程式は、
\[
-\nabla^2\phi = 4\pi k_1\rho
\tag{3.1}
\]\[
\Box {\bf A} + \frac{\alpha}{c^2} \nabla \frac{\partial\phi}{\partial t}
= 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{3.2}
\]
となります。

式(3.1)から、φがクーロンの法則を満たしていることがわかります。


ローレンツゲージ

以下の条件を課したものがローレンツゲージ
\[
\nabla \cdot {\bf A} + \frac{\alpha}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t} = 0
\tag{4}
\]

マックスウェル方程式は、
\[
\Box \phi = 4\pi k_1\rho
\tag{5.1}
\]\[
\Box {\bf A} = 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{5.2}
\]
となります。
ここで、$k_3 \alpha = 1$の関係式を利用しました。

こちらは、ローレンツ共変性を満たしますが、
それはこれから、相対論形式に書き改めていく過程で確認していきたいと思います。

これで、ようやく相対論的な4元形式に入る準備が整ったかなあ・・・
次回から、相対論的電磁気学に入りたいと思います。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/10/15 18:21
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