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4元電流

ようやく、相対論的電磁気学に入ります!

相対論的電磁気学は、相対論的力学より分かりやすいですね。
というのも、マックスウェル方程式は相対論でもそのまま成り立つから、
そのまま、4元形式に書き直していけばよいだけなので、
分かりやすいんです。
一方で、ニュートン力学はそのままでは成り立たないから、
どこかで考え方を修正しなければいけないので、難しく感じますね。
(いまいち、力学の方はまだちゃんと理解できないでいます・・・汗)

せっかくなので、単位系に依存しない形式で係数を残したまま、
相対論形式に書き換えていこうと思っていますが、
係数を残したバージョンは、どの教科書にも載っていないので、
正しい保証はまったくありません!

(それはおろか、できるかどうかも分かりませんが・・・)

まずは、マックスウェル方程式の電荷と電流に関する2式。
\[
\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi k_1 \rho
\tag{1.1}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{1.2}
\]

(1.2)の発散を取って、(1.1)を使うと、以下の電荷保存則(連続の方程式)が出ます。
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot{\bf j} = 0
\tag{2}
\]

電荷保存は、マックスウェル方程式の中に内在しているんですね。
もともと、そうなるように、マックスウェルの変位電流の項が追加されたのでしたが・・・

この電荷保存則を4元形式に書き換えます。
\[
\partial_{ct}(c\rho) + \partial_x j_x + \partial_y j_y + \partial_z j_z = 0
\tag{3}
\]

ここで、4元電流を以下のように定義すると(厳密には電流密度)
\[
j^\mu = ( c\rho, {\bf j} )
\tag{4}
\]
電荷保存則は、
\[
\partial_\mu j^\mu = 0
\tag{5}
\]
と表せます。

この時、
\[
\partial_\mu \equiv \frac{\partial}{\partial x^\mu}
\tag{6}
\]
は共変ベクトルになるから、4元電流が反変ベクトルであれば、
(5)の左辺は縮約によりスカラーとなり、
座標変換しても、電荷保存則は成立することになります。
つまり、ローレンツ共変性を持つことになります。

どの系から見ても電荷は保存しなければならないという経験的要請から、
4元電流は反変ベクトルであると考えられます。


電流密度の時間成分に電荷密度が現れるというのは
奇妙に感じてしまうんですが、そうすると、うまくいくんですね・・・

[1] 内山龍雄 「相対性理論」

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/10/18 12:50
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