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4元ポテンシャルに対する相対論的マックスウェル方程式 (2)

前回に求めた4元ポテンシャルに対するマックスウェル方程式にローレンツ条件を加えて、
ローレンツゲージにおけるマックスウェル方程式を記述してみます。

クーロンゲージは、ローレンツ共変ではないので、
4元形式では記述できません(たぶん)

まずは、前回の式。
\[
\Box A^\mu - \partial^\mu ( \partial_\nu A^\nu ) = 4\pi k_2\alpha j^\mu
\tag{1}
\]

ローレンツ条件は、
\[
\nabla \cdot {\bf A} + \frac{\alpha}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t} = 0
\tag{2}
\]
でしたので、これを4元形式に書き換えます。

\[
A^\mu \equiv \left( \frac{\alpha}{c}\phi, {\bf A} \right)
\tag{3}
\]
を用いて書き直すと、ローレンツ条件(2)は、
\[
\partial_\mu A^\mu = 0
\tag{4}
\]
となります。

これを(1)に適用すると、マックスウェル方程式は、
\[
\Box A^\mu = 4\pi k_2\alpha j^\mu
\tag{5}
\]
という非常にすっきりした形に書き換えられます。

各種単位系を見ておきます。
MKSA(SI)
\[
\Box A^\mu = \mu_0 j^\mu
\tag{6.1}
\]
CGSガウス
\[
\Box A^\mu = \frac{4\pi}{c} j^\mu
\tag{6.2}
\]
HL
\[
\Box A^\mu = \frac{j^\mu}{c}
\tag{6.3}
\]

重要なことを書き忘れそうになりましたが、
ローレンツ条件の式(4)を見ると、
これ自身がローレンツ共変(スカラーだから、ローレンツ不変というべきでしょうか)に
なっていることがわかります。

このことは重要で、もし、そうなっていなければ、
他の座標系から見ると、ローレンツ条件が満足されないことになってしまい、
ローレンツ共変形のマックスウェル方程式は得られなくなってしまいますね。

クーロンゲージでも、電荷と電流がなければ、一般性を失わずに、
$\nabla\cdot{\bf A} = 0$ かつ $\phi = 0$ という条件をつけることができて、
ローレンツ条件 (2)も満足していることになりますが、
座標変換しても、この条件が保たれている保証はありません。
そこが、大きなポイントなんだなあと最近、気づきました。
(これは、我流の理解なので、間違っているかもしれませんが・・・)

参考文献
[1] 内山龍雄 「相対性理論」
[2] J.J.Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/10/24 13:13
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