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電磁場テンソル (1)

今度は、電磁ポテンシャルではなく、電磁場 E, B の4元形式を導きます。

まずは、電磁場を電磁ポテンシャルで表した表現を思い出します。
\[
{\bf E} = -\nabla \phi- k_3\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{1.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{1.2}
\]
電磁ポテンシャルの4元形式は以下の通りでした。
\[
A^\mu \equiv \left( \frac{\alpha}{c}\phi, {\bf A} \right)
\tag{2}
\]

まず、(1.1)から変形してみます。x成分は、

\[
\frac{\alpha}{c}E_x
= - \partial_x \left(\frac{\alpha}{c}\phi\right) - \partial_{ct}A_x
= \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0
\tag{3.1}
\]
y成分、z成分についても同様に、
\[
\frac{\alpha}{c}E_y
= \partial_0 A_2 - \partial_2 A_0
\tag{3.2}
\]\[
\frac{\alpha}{c}E_z
= \partial_0 A_3 - \partial_3 A_0
\tag{3.3}
\]
ここで、(2)を共変にすると、空間成分だけ符号反転して、
\[
A_\mu \equiv \left( \frac{\alpha}{c}\phi, -{\bf A} \right)
\tag{4}
\]
となることを用いています。

さて、ここで次のような2階の共変反対称テンソルを定義すると、
\[
f_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = -f_{\nu\mu}
\tag{5}
\]

(3)式は、
\[
f_{01} = -f_{10} = \alpha E_x/c
\tag{6.1}
\]\[
f_{02} = -f_{20} = \alpha E_y/c
\tag{6.2}
\]\[
f_{03} = -f_{30} = \alpha E_z/c
\tag{6.3}
\]
とまとめられます。

定義から明らかに、テンソルの対角成分は0なので、
テンソルの成分は、こんな感じになります。

\[
f_{\mu\nu} = \left[
\begin{array}{cccc}
0 & \alpha E_x/c & \alpha E_y/c & \alpha E_z/c \\
-\alpha E_x/c & 0 & \clubsuit & \clubsuit \\
-\alpha E_y/c & \clubsuit & 0 & \clubsuit \\
-\alpha E_z/c & \clubsuit & \clubsuit & 0
\end{array}
\right]
\tag{7}
\]

さて、この$\clubsuit$の部分はどうなってるかを見るために、
次回は、磁場に関する(1.2)式の方を見ていくことにします。

参考文献
[1] 内山龍雄 「相対性理論」

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/11/13 13:12
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