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フーリエ解析

どんどん話が変わりますが・・・

仕事では、日常的にフーリエ解析を使っています。

概略(イメージ)はきちんと理解してるつもりですし、
フーリエ変換の公式にも慣れて、道具のごとく使っているのですが、
今、仕事関連の知識を別ブログにまとめていて、悩んでしまいました。

というのも、せっかくなので、
フーリエ級数が正しく元の関数に収束するのかということを
数学的に厳密に考えてみようと思ったところ、
これが意外にもかなり手ごわいんです・・・汗

物理屋としては、デルタ関数なるものを登場させて、
いい加減にすませてしまえば、
(などと言っては、ディラク先生に怒られるかもしれませんが・・・笑)
すごく分かりやすいのですが、
x=0で無限大に発散してるにもかかわらず、連続関数っぽく描かれているあんな関数が
数学では許されるわけありません。
「超関数」という数学的扱いがあるようですが、それはさらに難しそうです。

そこで、数学では、デルタ関数のような概念は使わずに、
地道に収束性を証明していくんですが、これが結構、骨。

まずは、「区分的に連続」とか「区分的になめらか」とかいう条件を
きちんと考えなければならないこと。

そして、収束にも、「一様収束」、「各点収束」、「平均収束」という3種類があって、
どの条件の時に、どのタイプの収束性を持つのかということ。

まあ、物理をやる上では、ほとんどの場合、どうでもいいことなんですが(笑)、
気になってしまうと、どうしようもない性格なもので・・・^^;

とりあえず、いろいろな文献をあさって、
収束性の証明の目途はついてきたかなといったところです。

どんな条件の時に、どのタイプの収束をするかについては、
未だはっきりとは分かってません。

この機会に少しずつ、手順を追って、記事にしていきたいと思っています。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/11/30 00:25
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