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フーリエ級数の証明手順

フーリエ級数が正しく元の関数を再現するという証明の手順が
おおよそ分かってきたので、まず、その流れを概観しておこうと思います。

まず、証明に入る前に、任意の周期的関数 f(x) を
フーリエ級数展開で表すところについて。

フーリエ基底が正規直交系をなすことを確認。

正規直交性から、フーリエ級数展開の係数を求めます。

この時、級数の項別積分をすることになるので、
一様収束性が前提されていなければならないのですが、
ここでは仮に前提しておいて、係数を求めます。

こうして、与えられたf(x)に対するフーリエ級数展開が求められます。

ここまでが証明以前の準備。
ここからが証明の本編。

仮に求めた係数を使ったフーリエ級数が元の関数に正しく収束するか
証明することになります。

元の関数としては、「区分的になめらか」という条件をつけます。
有限個の点で不連続であっても構わないが、
そこでの片側微分が発散しないという条件。

証明に必要な準備として・・・

区分的連続な関数に対して、リーマン・ルベーグの補題を証明。
ここが「区分的になめらか」でよければ少し楽なのですが、
フーリエ級数の証明に使うには、
「区分的に連続」という弱めの条件で証明しておくことが必要。

それから、ディリクレ核の概念を導入。
いくつかの性質を証明。
ディリクレ核は、級数の部分和の形をしていて、
N→∞でデルタ関数のふるまいをするようなもの。
つまり、積分値を一定に保ったまま、ピークが先鋭化していくというようなもの。

最後に、これらの準備をもとに、本丸である
元の関数からフーリエ級数を引き算したものがN→∞で、ゼロに収束する
ということを証明。

この時、元の関数に不連続点がある場合を考慮して、
\[
\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
\]
に収束することを証明します。
(連続点においては、上記は明らかに、f(x)に等しい)

これが各点収束になるのか、
不連続点での値を上記のように置くことで、一様収束とみなせるのか、
そこのところは、まだよくわかりません・・・

いずれにせよ、初めに仮に係数を求めたときに、一様収束を仮定して求めましたが、
求めた係数から逆に収束することを証明できたので、
実際には一様収束でなくても、問題はないと思っています。

以上が証明の概観です。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(6) | 2013/12/02 22:36
コメント
No title
「これが各点収束になるのか、
不連続点での値を上記のように置くことで、一様収束とみなせるのか、」

についてですが、

「上記のように置くことで、一様収束とみなせる」は成り立たない、です。
三角関数は連続関数なので、フーリエ級数が全区間で一様収束するとすれば、
極限の関数も連続になってしまいます。しかし鋸刃関数などは明らかに不連続点
をもっている。

※ 一般に、連続関数の列が一様収束する極限の関数は連続関数である、という定理があります。
(証明は難しくない)。


「いずれにせよ、初めに仮に係数を求めたときに、一様収束を仮定して求めましたが、」

ですが、関数 f のフーリエ係数は f と三角関数の積の定積分として
定義されるもので、級数を作る前の段階の話だから、
「一様収束の仮定」などは要らないです。

フーリエ級数の理論は

1. フーリエ係数を定義する。
2. フーリエ係数から形式的にフーリエ級数を作る。
3. フーリエ級数が元の関数に如何なる意味で収束するかを論じる

という流れです。当然、最後の 3 が肝であり、難しい点ですね。


いもむしさんへ
非常に有意義なアドバイスをありがとうございます^^

おかげで、モヤモヤしていたものがスッと晴れました!

なるほど、不連続点の値をたとえ中間値に設定したところで、
連続関数になるわけではないですもんね。
一様収束しないというのは、なんとなく分かります。
(ちゃんと自分で証明したわけではないですが・・・)

フーリエ係数を求める際の話も、
確かに「定義」と考えればよいわけだから、
一様収束の仮定は必要ないですね。

とても分かりやすい説明で、すっきりしました。

ちなみに、f(x)が連続関数の場合は、一様収束するんでしょうか?
一様収束しそうな気がしますが、
実際に証明を進めていけば分かりますね。
No title
「f(x)が連続関数の場合は、一様収束するんでしょうか? 」

という問題ですが、答えは NO なんです。詳しく読んでいませんが、
例えば スタイン・シャカルチ著「フーリエ解析入門」に書いてあります。

f(x) が連続で、区分的に滑らか(連続微分可能)ならば、
そのフーリエ級数は f(x) に一様収束します。


それから、前のコメントに追記・修正したいことですが、フーリエ級数論は
以下の流れになります。

0. 与えられた関数がフーリエ級数に展開できて、かつ項別積分が可能だと仮定して、
そのフーリエ係数を積分により求める(これはあくまでも発見法)。

1. 関数のフーリエ係数を上の式により定義する(ここからが厳密数学)。

2. フーリエ係数から形式的にフーリエ級数を作る。

3. フーリエ級数が元の関数に如何なる意味で収束するかを論じる


なお、0. の発見法の段階で、前述のように、一様収束は項別積分可能であるための十分条件ですが、必要ではないです。ルベーグの各種の収束定理があって、厳密に一様収束でなくても項別積分が可能であることが分かっています。

よって一様収束を仮定する必要はない。

ところが実は、区間上の関数列が、各点収束すれば任意の正数 δ に
対して測度が δより小さい「可測集合」N をうまく選ぶと、関数列は
N の外では一様収束している、という定理(エゴロフ)があります。
鋸刃関数の例では、f(x) が鋸の刃先になっている点 x を含む幅がδの開区間が、
その「可測集合」になっている。しかし「可測集合」は一般にどんな形をしているか分からない。ちょっと難しい話になります。要は

各点収束 ⇒ 全部ではないが、かなり多くの部分で一様収束

よって、

特に異常な関数でなければ、項別積分できる

ということです。これが 0. の発見法を正当化します。

厳密な議論は 1. から始まります。



いもむしさんへ
「区分的に滑らか」というのは、フーリエ級数を考える上での前提と考えていました。

連続でも、区分的に滑らかでないケースというのが想像できなかったのですが、
たとえば、
\[
f(x) = \sqrt{\pi^2-x^2}
\]
というような関数はそうなのでしょうか。
(x = ±πで微分係数が発散)

あとは、連続でありながら、無限個の点で微係数が不連続というような
関数が存在しうるのかどうか・・・
考えてたら、頭が発散してしまいました^^;
(物理では、ほとんど考える必要のなさそうな関数ですが・・・)

論理の流れの追加(0番)は、より流れがスッキリ理解できました。

後半の可測集合の話は、難しすぎて、すみません。
あまりよく理解できませんでしたが、
一様収束が項別積分の必要条件ではないというのは、勉強になりました。
項別積分可能はもっと広い条件になってるんですね。

有意義なコメント、ありがとうございます
有界変動関数
「区分的に滑らか」の定義は、有限個の閉区間上では滑らか、ということで、
その「閉区間 I 上で滑らかである」とは、内部の開区間上で微分可能で、
かつ導関数が I 上の連続関数に延長できる、ということでした。

※ 区間の端点では片側の微係数で微分を定義して、そうして得られた
導関数が連続である、といっても同じ。

さて、問題の半円、かまぼこ型の関数ですが、内部の導関数が左右の端点で
発散しますから、延長不能で、これは区分的に滑らか、とならないです。

実は、より強力な定理があります。

連続で「有界変動」ならば、フーリエ級数は元の関数に一様収束する、

というのがそれです。
かまぼこ型関数は有界変動なので、上の定理が適用できます。
「有界変動」の定義は解析の本で調べてみてください。


それから「連続でありながら、無限個の点で微係数が不連続というような
関数」についてですが、いたるところで微分可能でない連続関数の存在が
知られています。これを最初の発見者の名にちなんで、
ワイエルシュトラス関数といいます。
いもむしさんへ
コメント、ありがとうございます。

どこかのサイトで、かまぼこ型は区分的に滑らかではないが、
フーリエ級数は収束する例として掲載されていました。
「連続で有界変動」という条件を満たしているということだったんですね。

「有界変動」という言葉は初めて耳にしました。
手持ちの解析の本に載っているようでしたので、
また、ゆっくり読んでみたいと思います。

ワイエルシュトラス関数・・・そんな関数があるんですね!
どんなものか興味があるので、こちらも調べてみます。

有意義な情報、ありがとうございました。

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