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フーリエ基底

いもむしさんに有意義なコメントをいただいたおかげで、
フーリエ級数の論理の流れがだいぶ明確になってきましたので
さっそく、始めてみたいと思います。

とりあえず、フーリエ級数展開の基底について。

\[
u_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{inx}
\tag{1}
\]
で表される基底 { un } (n=0,±1,2,...,∞) が正規直交基底となることを確認します。

内積は、以下で定義します。
\[
( f, g ) = \int_{-\pi}^\pi f^*(x) g(x) dx
\tag{2}
\]

基底同士の内積を取ると、
\[
(u_m, u_n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(n-m)x} dx
\tag{3}
\]

m≠n ならば、
\[
( u_m, u_n )
= \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{i(n-m)x}}{i(n-m)} \right]_{-\pi}^\pi
= 0
\]

m=n ならば、
\[
(u_m, u_n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi dx = 1
\]

以上より、
\[
(u_m, u_n) = \delta_{mn}
\tag{4}
\]
となり、正規直交性を示すことが分かります。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/05 12:53
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