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フーリエ級数展開

続いて、フーリエ級数展開の式を導きます。

まず、区分的に滑らかで、2πの周期性を持つ関数
\[
f(x) = f(x+2\pi)
\tag{1}
\]
を考えます。

これが、フーリエ基底を用いて、無限級数で展開できると仮定します。
\[
f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty a_n u_n(x)
\tag{2}
\]
すなわち、
\[
f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{inx}
\tag{2'}
\]

ここで、フーリエ基底が完全系をなすかどうかは分からないし、
無限級数が収束するかどうかも現時点では分からないので、
あくまでも展開可能だと仮定しただけという意味で、
「=」ではなく、「~」を用いています。

次に、このフーリエ係数 an の具体的な形を求めていきます。

そのために、さらに、無限級数は項別積分可能であると仮定します。
この仮定は、発見法的に、係数の形を見つけるために用いるだけで、
最終的に、この展開係数で級数展開可能かどうかという証明には用いません。

つまり、とりあえず素性のよい関数の場合は、
どんな係数になるかというあたりを付けておこうという話です。

f(x) と un(x) の内積を取ると、項別積分可能性を用いて、
\[
(u_n, f) \sim \left(u_n, \sum_k a_k u_k \right) = \sum_k a_k (u_n, u_k)
\tag{3}
\]
となります。

前記事で、フーリエ基底は正規直交性を示すことを確認したので、
\[
(u_n, u_k) = \delta_{nk}
\tag{4}
\]
であるから、(3)式の右辺は、an となり、
結局、フーリエ係数は、
\[
a_n \sim (u_n, f) = \int_{-\pi}^\pi u_n^*(x) f(x) dx
\tag{5}
\]
すなわち、
\[
a_n \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx
\tag{5'}
\]
となることが分かります。

ただし、現時点では、これは上記の仮定が成立した場合の話。

そこで、今度は、フーリエ係数(5')を
\[
a_n \equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx
\tag{6}
\]
というように定義として考えて、これによるフーリエ級数
\[
S_n(x) = \sum_{k=-n}^n a_k u_k(x)
\tag{7}
\]
が$n\rightarrow \infty$の時に、
\[
S_n(x) \rightarrow \frac{1}{2}\{ f(x+0) + f(x-0) \}
\tag{8}
\]
に収束することを証明していくことにします。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/06 12:56
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