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電磁場テンソルに対するマックスウェル方程式 (1)

久しぶりに、相対論の続きを・・・

以前、4元ポテンシャルに対するマックスウェル方程式
\[
\Box A^\mu - \partial^\mu ( \partial_\nu A^\nu ) = 4\pi k_2\alpha j^\mu
\tag{1}
\]
を導きましたが、今度は、電磁場テンソル
\[
f^{\mu\nu} = \left[
\begin{array}{cccc}
0 & -\alpha E_x/c & -\alpha E_y/c & -\alpha E_z/c \\
\alpha E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
\alpha E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
\alpha E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{array}
\right]
\tag{2}
\]
で表現したマックスウェル方程式を導いていきます。

つまり、非相対論でいうところの一般的なマックスウェル方程式
\[
\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi k_1 \rho
\tag{3.1}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{k_2\alpha}{k_1} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
= 4\pi k_2\alpha {\bf j}
\tag{3.2}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0
\tag{3.3}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{3.4}
\]
を相対論形式で書き改めようという話です。

まず、(3.1)式から料理してみます。
\[
\partial_x E_x + \partial_y E_y + \partial_z E_z = 4\pi k_1 \rho
\]
両辺に、α/c を乗ずると、
\[
\partial_x \frac{\alpha E_x}{c}
+ \partial_y \frac{\alpha E_y}{c}
+ \partial_z \frac{\alpha E_z}{c}
= \frac{4\pi k_1\alpha}{c} \rho
\]

4元電流ベクトルと電磁場テンソルの成分で表記すると、
\[
\partial_1 f^{10} + \partial_2 f^{20} + \partial_3 f^{30}
= \frac{4\pi k_1\alpha}{c^2} j^0
\]
となります。
ここで、$f^{00} = 0$ であることと、$k_1 = c^2 k_2$ を使うと、
\[
\partial_\mu f^{\mu 0} = 4\pi k_2\alpha j^0
\tag{4}
\]
と書けます。

とすると、添字0の時だけではなくて、ひょっとしたら、他の成分についても
\[
\partial_\mu f^{\mu \nu} = 4\pi k_2\alpha j^\nu
\tag{5}
\]
って感じに書けるのではないかと・・・想像できるわけです。

たとえば、$\nu = 1$の時に、この式がどういうことを意味するのか、
書き下してみることにします。
\[
\partial_\mu f^{\mu 1} = 4\pi k_2\alpha j^1
\tag{6}
\]
\[
-\partial_{ct} \frac{\alpha E_x}{c}
+ \partial_y B_z - \partial_z B_y
= 4\pi k_2 \alpha j_x
\]
\[
(\nabla\times{\bf B})_x - \frac{\alpha}{c^2} \frac{\partial E_x}{\partial t}
= 4\pi k_2\alpha j_x
\]

同様に、$ν=2,3$の場合からは、y,z成分が出てきて、(3.2)式に一致する。

結局、まとめると、
(3.1)(3.2)式を相対論的に表記したものが(5)式
\[
\partial_\mu f^{\mu \nu} = 4\pi k_2\alpha j^\nu
\tag{5}
\]
といういこと。

各種単位系で記述すると、
SI
\[
\partial_\mu f^{\mu \nu} = \mu_0 j^\nu
\]
CGS Gauss
\[
\partial_\mu f^{\mu \nu} = \frac{4\pi}{c} j^\nu
\]
H-L
\[
\partial_\mu f^{\mu \nu} = \frac{j^\nu}{c}
\]
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/12/11 12:43
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