スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

リーマン・ルベーグの補題 (1)

フーリエ級数の証明に入るための準備をしていこうと思います。

まずは、リーマン・ルベーグの補題

区間 [a,b] で区分的に連続な関数 f(x) に対して、
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{1}
\]

証明の前に、まずはこの補題のイメージですが・・・

λを大きくしていくと、sin関数はどんどん急速に振動していく。

一方、f(x) は区分的に連続なので、途中に高々有限個の飛びしかないので、
それより細かく sin を振動させてしまえば、
その振動の間には、f(x) はほとんど変化しないため、
正負両方に出てくる面積は等しくなり、お互い打ち消しあって、
合計の面積は0になる。


フーリエ級数の証明に用いるには、「区分的に連続」という条件が必要なのですが、
その前に、簡単な「区分的になめらか」という条件で証明してみることにします。

区分的になめらかと仮定した場合の証明

区分的になめらかということは、
有限個のなめらか(連続微分可能)な区間における積分の和で表せるから、
各々の連続微分可能な区間で0に収束することを証明すればよい。

というわけで、区間 [a',b'] において、f(x) を連続微分可能として以下を証明する。
\[
\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \int_{a'}^{b'} f(x) \sin \lambda x dx = 0
\tag{2}
\]

積分の部分は、f(x) が微分可能という条件より、部分積分が実行できる。
\[
\int f(x) \sin \lambda x dx
= - \frac{1}{\lambda} \left[ f(x) \cos\lambda x \right]
+ \frac{1}{\lambda} \int f'(x) \cos\lambda x dx
\]

条件から、f(x)、f'(x) は有界であるから、
この積分は、|λ|→∞ の極限で0に収束する。

(証明終了)

区分的になめらかを仮定した場合は、部分積分できるから、あっさりと証明できました。

区分的に連続の場合は、もう少し複雑になりますが、次回やってみたいと思います。
スポンサーサイト
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2013/12/17 12:51
コメント

管理者のみに表示

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。