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電磁場テンソルに対するマックスウェル方程式 (3)

ずっとこの話題で少々飽きてきたのですが(笑)、
もう少しで終わると思うので・・・

実は、これが終わると、前々からやりたかった計算があって、
今はそのために書いているという感じなのですが、それはまたその時に(笑)

とりあえず、これまでは、マックスウェル方程式のうちの
ソースターム(ρとjの項)の入った方の2つの式を電磁場テンソル表現に書き換えました。

これからは、残りの2つの式について、料理していきます。
\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0 \tag{1}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + k_3\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{2}
\]

電磁場テンソルを思い出しておきます。
\[
f_{\mu\nu} = \left[
\begin{array}{cccc}
0 & \alpha E_x/c & \alpha E_y/c & \alpha E_z/c \\
-\alpha E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-\alpha E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-\alpha E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{array}
\right]
\tag{3}
\]

さっそく、(1)式から見ていくことにすると、
\[
\partial_x B_x + \partial_y B_y + \partial_z B_z = 0
\]
は、
\[
\partial_1 f_{32} + \partial_2 f_{13} + \partial_3 f_{21} = 0
\]
となりますね。
fμνは反対称だから、添え字を全部入れ替えても、上式は成り立ちます。
\[
\partial_1 f_{23} + \partial_2 f_{31} + \partial_3 f_{12} = 0
\tag{4}
\]
この式を見ると、(1,2,3)をサイクリックに入れ替えたものを3つ足した構造になってますね!

で、この結果はとりあえず、オーブンに入れておいて、
次に、(2)式の方の料理に移りたいと思います。

x成分を書き下してみると、
\[
\partial_y E_z - \partial_z E_y + k_3 \partial_t B_x = 0
\]
少し変形してみると、
\[
\partial_y (\alpha E_z/c) - \partial_z (\alpha E_y/c) + \partial_{ct} B_x = 0
\]
となり、
\[
\partial_2 f_{03} - \partial_3 f_{02} + \partial_0 f_{32} = 0
\]
となりますね。
先ほどと同じく反対称性を利用して、真ん中以外の2項の添え字を入れ替えて、
さらに、項の順番を見やすいように並べると、
\[
\partial_0 f_{23} + \partial_2 f_{30} + \partial_3 f_{02} = 0
\tag{5}
\]
となります。
これは、(0,2,3)をサイクリックに並べ替えたものの足し合わせになってますね!

同様に、y成分、z成分を見ていくと、
\[
\partial_0 f_{13} + \partial_1 f_{30} + \partial_3 f_{01} = 0
\tag{6}
\]
\[
\partial_0 f_{12} + \partial_1 f_{20} + \partial_2 f_{01} = 0
\tag{7}
\]
という式が導き出されて、これらは、(0,1,3)、(0,1,2)をサイクリックに並べ替えたものの和。

ここで、オーブンに入れておいた式(4)を取り出して、
(4)~(7)をまとめると、マックスウェル方程式の残りの2つの式は、
(μ,ν,λ)を (0,1,2)、(0,1,3)、(0,2,3)、(1,2,3)の4通りの組として、
\[
\partial_\mu f_{\nu\lambda} + \partial_\nu f_{\lambda\mu} + \partial_\lambda f_{\mu\nu} = 0
\tag{8}
\]
という一つの式にまとめられることが分かります。

この(μ,ν,λ)の組み合わせは、0,1,2,3 の4つの数字から、
任意の3つを重複を許さず組み合わせたものだから、
4C3 = 4 通りあることになるので、
この4つで完全に尽くされていることになりますね。

重複を許した場合を考えると、もっとたくさんありますが、
たとえば、μ=νの場合を考えると、
\[
\partial_\mu f_{\mu\lambda} + \partial_\mu f_{\lambda\mu} + \partial_\lambda f_{\mu\mu} = 0
\]
(ただし、重複した添え字は和をとらない)

反対称性から、\( f_{\mu\mu} = 0 \)、\( f_{\mu\lambda} = -f_{\lambda\mu}\) となるので、
この左辺は、恒等的にゼロ。

というわけで、重複を許した場合も、この式は形式上成立しますが、
重複しない4通りのみが意味を持つということになります。

結果として、マックスウェル方程式は、前回の結果と合わせて、
\[
\partial_\mu f^{\mu \nu} = 4\pi k_2\alpha j^\nu
\tag{9}
\]\[
\partial_\mu f_{\nu\lambda} + \partial_\nu f_{\lambda\mu} + \partial_\lambda f_{\mu\nu} = 0
\tag{10}
\]
の2つにまとめられることになります。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2013/12/20 13:16
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