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ディリクレ核

フーリエ級数を証明するために、もう一つ準備しておかなければならないものがディリクレ核

定義はこちら。
\[
D_n(x) = \sum_{k=-n}^n e^{ikx}
\tag{1}
\]

これは何者かというと、n→∞ でデルタ関数のように振る舞うもの。
つまり、
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} D_n(x) \sim 2\pi\delta(x)
\tag{2}
\]
というような感じ。
物理屋的センスでは、イコールでつないじゃってもいいんでしょうね。


ディリクレ核の性質を調べておきます。

性質1
x≠0 において、
\[
D_n(x) = \frac{\sin \left( n+\frac{1}{2}\right) x}{\sin \frac{x}{2}}
\tag{3}
\]

証明
初項 exp(-inx)、 公比 exp(ix) の等比級数の第 2n+1 項までの部分和だから、
\[
D_n(x) = e^{-inx} \frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}}
\tag{4}
\]
分母分子に exp(-ix/2) を乗じて、
\[
D_n(x) = \frac{e^{i(n+1/2)x} - e^{-i(n+1/2)x}}{e^{ix/2} - e^{-ix/2}}
\tag{5}
\]
sinに置き換えればよい。
(証明終了)

性質2
\[
\int_{-\pi}^\pi D_n(x) dx = 2\pi
\tag{6}
\]

証明
\[
\int_{-\pi}^\pi D_n(x) dx = \sum_{k=-n}^n \int_{-\pi}^\pi e^{ikx} dx
\tag{7}
\]
k≠0 の項の積分値はすべて、exp(ikx)の2πの周期性より0。
k=0 の項のみが残り、積分値は2π。
(証明終了)

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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2014/01/06 12:37
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