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フーリエ級数の証明 (1)

さて、フーリエ級数の証明のための準備が相整いましたので、
さっそく、証明に入りたいと思います。

まず、何を証明するかってことですね(笑)

証明すべき命題
f(x) を区分的に滑らかな周期 2π の関数とする。

フーリエ係数
\[
a_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx
\tag{1}
\]
と定義すると、フーリエ級数
\[
S_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k=-n}^n a_k e^{ikx}
\tag{2}
\]
は、n → ∞ において、
\[
\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
\]
に収束する。

f(x) が x で連続の場合は、上記は f(x) に等しくなる。

証明

(1)を(2)に代入して、証明したい式は、
\[
S_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x') \sum_{k=-n}^n e^{ik(x-x')} dx'
\tag{3}
\]

変数変換 \(\xi = x-x' \) を行って、
さらに、2πの周期性から積分区間をずらすことが許されるので、
\[
S_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-\xi) \sum_{k=-n}^n e^{ik\xi} d\xi
\tag{4}
\]

積分の中に、ディリクレ核が現れて、
\[
S_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-\xi) D_n(\xi) d\xi
\tag{5}
\]

積分区間を[-π,0][0,π]に分割。
\[
S_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^0 f(x-\xi) D_n(\xi) d\xi \\
+ \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi f(x-\xi) D_n(\xi) d\xi
\tag{6}
\]

これから、
\[
\Delta_n(x) \equiv S_n(x) - \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
\tag{7}
\]
と定義して、これが n→∞ において、ゼロに収束することを示すことにする。

長くなってきたので、続きは次回。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2014/01/07 12:37
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