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フーリエ級数の証明 (2)

フーリエ級数の証明の続き。
\[
\Delta_n(x) \equiv S_n(x) - \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
\tag{1}
\]
が n→∞ でゼロに収束することを示します。

ディリクレ核の性質2から、
\[
\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi D_n(\xi) d\xi = 1
\tag{2}
\]
ディリクレ核は、定義から明らかに偶関数だから、
\[
\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^0 D_n(\xi) d\xi
= \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi D_n(\xi) d\xi
= \frac{1}{2}
\tag{3}
\]
これを用いると、
\[
\Delta_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^0 \{ f(x-\xi) - f(x+0) \} D_n(\xi) d\xi \\
+ \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi \{ f(x-\xi) - f(x-0) \} D_n(\xi) d\xi
\tag{4}
\]
と書ける。

第一項の積分を考える。
ディリクレ核の性質1を利用すると、
\[
\int_{-\pi}^0 \{ f(x-\xi) - f(x+0) \} \frac{\sin(n+1/2)\xi}{\sin (\xi/2)} d\xi
\tag{5}
\]
ただし、この表記は、ξ=0 では定義できないが、
ξ→ -0 の極限を取ることにすると、極限値は 2n+1 となり、
Dn(0) の値に一致するので、問題ない。

さらに、以下のように変形する。
\[
2\int_{-\pi}^0
\frac{f(x-\xi) - f(x+0)}{\xi}
\frac{\xi/2}{\sin(\xi/2)}
\sin(n+1/2)\xi d\xi
\tag{6}
\]

第一の因子
\[
\frac{f(x-\xi) - f(x+0)}{\xi}
\]
は、ξ→ -0 で、f ' (x+0) となる。
区分的に滑らかという仮定から、この微分は収束するため、
この因子は区分的に連続である。

第二の因子
\[
\frac{\xi/2}{\sin(\xi/2)}
\]
は、ξ→ -0 で 1 に収束。

よって、
\[
\frac{f(x-\xi) - f(x+0)}{\xi}
\frac{\xi/2}{\sin(\xi/2)}
\]
の部分は、区分的に連続である。

リーマン・ルベーグの補題より、
(6)式は、n → ∞ において、ゼロに収束する。

(4)式第2項についても、同様の過程を経て、ゼロに収束することが分かる。

以上で題意は証明された。

(証明終了)

結局、イメージとしては・・・

ディリクレ核(2πで割ったもの)は、積分すると1になるということと、
裾の振動成分は、リーマン・ルベーグからゼロになるということから、
デルタ関数的ふるまいをすることになり、
元の関数を再生できるというわけですね!
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>フーリエ解析 | コメント(0) | 2014/01/10 12:26
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