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速度の合成則

相対論的力学で使う予定なので、速度の合成則を見ておきます。

地面に対して速度 v1 で走るトラックの荷台から、
トラックに対して速度 v2 で進行方向にボールを投げると、
ボールは地上から見ると、どんな速度で飛んでいくでしょうか?

という話。

非相対論的な話では、当然、v1 + v2 ですが、
相対論ではそうはなりません!

たとえば、v1 も v2 も 光速の2/3と仮定すると、
単純に足してしまえば、光速を超えてしまいますからね。

というわけで、計算してみます。
以下のように仮定。

地上を S 系、トラックを S' 系とする。
速度として、\( \beta = v/c \) を用いることにして、
S' は S に対して、速度 v1 で動いているから、
ローレンツ変換より、
\[
x' = \gamma_1 (x - \beta_1 ct ) \\
t' = \gamma_1 (t - \beta_1 x/c) \\
\tag{1}
\]
ただし、\(\gamma_1 = 1/\sqrt{1-\beta_1^2}\)

ボールは、S' に対して、速度 v2 で動いている。
\[
x' = v_2 t' = \beta_2ct'
\tag{2}
\]
ボールは、S に対して、速度 v で動いているとすると、
\[
x = vt = \beta ct
\tag{3}
\]

(1)を(2)に代入して、
\[
x-\beta_1ct = \beta_2c(t-\beta_1x/c)
\]
\[
x = \frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2} ct
\]

(3)と比較して、
\[
\beta = \frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}
\tag{4}
\]
これが、速度の合成則

試しに、光速の2/3の場合、β1 = β2 = 2/3 を入れてみると、
合成速度は、β = 12/13 < 1 となり、微妙に光速を超えない。

いかなる場合も光速を超えないことを示すには、
\[
1-\beta = \frac{(1-\beta_1)(1-\beta_2)}{1+\beta_1\beta_2}
\tag{5}
\]
と変形する。

合成前の速度が光速を超えない
0 < β1 < 1, 0 < β2 < 1 とすると、
β < 1 となる。

β1, β2 が負の場合は、
\[
1+\beta = \frac{(1+\beta_1)(1+\beta_2)}{1+\beta_1\beta_2}
\tag{6}
\]
を用いて、同様に示すことができる。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2014/01/27 13:30
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