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∫ 調和振動子 (4)

珍しく、気分が乗ってまいりましたので、久しぶりに物理のお勉強。

前回に引き続き、調和振動子のSchrodinger方程式を解いていきます。
u" + (λ - ξ2) u = 0  (1)

u(ξ) : 固有関数
ξ : 無次元化した位置座標
λ: 無次元化したエネルギー固有値

前回、無限遠での漸近解を求めましたので、
u = H(ξ) exp (-ξ2/2)  (2)

の形での解を求めていくことにします。

uを微分すると、

u' = ( H' - ξH ) exp(-ξ2/2)

さらに微分すると、
u" = ( H" - H - ξH' ) exp - ( H' - ξH ) ξ exp
  = { H" - 2ξH' + (ξ2-1)H } exp

となるから、(2)を(1)に代入すると、H(ξ)の満たすべき方程式は、

H" - 2ξH' + (λ-1) H = 0  (3)

となります。

ここまでは簡単ですが、ここからがちょっと複雑。

まずは、無限級数 H(ξ)を
H(ξ) = Σn=0 an ξn+s   (4)
とおきます。

sは最低次の次数で、s≧0、a0≠0

微分して、
H'(ξ) = Σn=0 (n+s) an ξn+s-1   (5)

さらに、微分して、
H"(ξ) = Σn=0 (n+s)(n+s-1) an ξn+s-2   (6)

(4)~(6)をごっそり、(3)に代入して、

Σn=0 [ (n+s)(n+s-1) an ξn+s-2
       - 2(n+s) an ξn+s + (λ-1) an ξn+s ] = 0


少しまとめて、

Σn=0 [ (n+s)(n+s-1) an ξn+s-2
       - { 2(n+s) + 1 -λ } an ξn+s ] = 0


ここで、ξのべき指数を合わせるために、第一項だけ n-2→n にずらします。

Σn=-2 (n+s+2)(n+s+1) an+2 ξn+s
- Σn=0 { 2(n+s) + 1 -λ } an ξn+s = 0


そうすると、n≧0 の部分は、ξn+sでまとめることができて、

s(s-1) a0 ξs-2 + s(s+1) a1ξs-1
+ Σn=0 [ (n+s+2)(n+s+1) an+2 - { 2(n+s) + 1 -λ } an ] ξn+s = 0


任意のξに対して、恒等的に成立するためには、
ξのべきの各係数がすべて0でなければならないから、

s(s-1) a0 = 0  (7)
s(s+1) a1 = 0  (8)
(n+s+2)(n+s+1) an+2 = { 2(n+s) + 1 -λ } an  (n≧0)  (9)

という結果になります。

長くて疲れてしまったので、今日はこの辺で・・・
検算もしてませんが、また間違ってたら、あとで修正します

追記(12/14)
やはり、間違いがありましたので、修正しました。
(λ-1 になっていたところを 1-λに修正)
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調和振動子 | コメント(4) | 2011/12/13 12:00
コメント
うーーーん、なんだかよその国のブログにやってきたかと思っちゃいましたよ!
入る 引く ウニョウニョの二乗、 って何ですか(笑)
(@_@;)
宇宙人がいる(^^♪
ruvhanaさんへ
>うーーーん、なんだかよその国のブログにやってきたかと思っちゃいましたよ!
こんな数式だらけの記事とピアノの記事が同居しているブログも
世界に一つしかないでしょうね(笑)
>入る 引く ウニョウニョの二乗、 って何ですか(笑)
あれ、ruvhanaさんは結構、こういうのもわりとお得意かと思ってました。
λ(ラムダ)もξ(グザイ)も「チャート式」には登場しませんでしたっけ?
kassiiさんへ
>宇宙人がいる(^^♪
はい、宇宙人です!(嘘)
難しそうに見えるかもしれませんが、
exp●がらべんだ~さんではなく、eの●乗ということが分かれば、
あとは高校の数学でなんとか理解できる範囲じゃないかなと思います(笑)
ただ、この記事の内容って、物理学全体でいうと、
まだ、初歩の初歩なんですよね(--:)
先が思いやられます。。。

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