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固有時

相対論的力学に入ります。

相対論以前は、運動を記述するのに、
\[
x(t), y(t), z(t)
\]
というように時刻をパラメータにして記述していたが、
相対論では、時刻は見る座標系によって異なってくるので、
座標系によって変化しないローレンツ不変量をパラメータに選ぶのが望ましい。
\[
x^\mu(\tau)
\]

そこで、以下のような条件を満たすパラメータτを考える。
\[
c^2 d\tau^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 - dz^2
\tag{1}
\]
これは明らかにローレンツ不変。

変形すると、
\[
d\tau = dt \sqrt{1
- \frac{1}{c^2}
\left[
\left(\frac{dx}{dt}\right)^2
+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2
+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2
\right]}
\]

すなわち、
\[
d\tau = dt \sqrt{1-\beta^2} = \frac{dt}{\gamma}
\tag{2}
\]
となる。

物体が静止している座標系から見た場合は、β= 0 であるから、
\[
d\tau = dt
\tag{3}
\]
つまり、τは、物体に張り付けた時計の刻む時刻を表していることになる。
一方で、τはローレンツ不変量であるから、どの座標系から見ても共通の尺度になっている。

という意味で、このτを固有時と呼ぶ。

物体が動いている場合は、以前の記事で見たように、
時計の遅れが生じるので、τの変化は遅くなっていく。

どれぐらい遅くなるかを表す式は、今回の(2)式と一致している。


参考文献
[1] 内山龍雄「相対性理論」(岩波物理テキストシリーズ)
[2] 前野昌弘 相対論2010年度講義録
  http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/rel2010/tokushu.pdf
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2014/01/29 11:55
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