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相対論的運動方程式 (1)

テンプレートを変えましたが、このテンプレート、
シンプルなデザインでありながら、
勉強してるって雰囲気もありありで、いいじゃないですか!
ほんと素敵で惚れ惚れします(笑)

さて、お膳立てが揃ったので、いよいよ、
運動方程式を相対論的に修正していきたいと思います!

ここからは、ちょっと難しいんです。
計算が難しいわけではなくて、論理をどのように展開していくかが難しい。

まだ、完全に飲みこめたわけじゃないのですが、
とりあえず、内山先生の本が一番分かりやすかったので、
それに沿って、すすめていこうと思います。

行間を我流で埋めていますので、
内山先生の意図とは異なっている箇所も多々あるかもしれません。
間違いがあるときは、ご容赦ください。

・・・とお断りを入れておきまして、さっそく始めます。

まずは、ニュートンの運動方程式からスタート。
\[
m\frac{d^2 x^i}{dt^2} = F^i
\tag{1}
\]

ここで、i = 1, 2, 3。
以後は、英文字の添え字は、空間的な 1,2,3 のみを表すものとし、
ギリシャ文字の添え字は、時間・空間の4元形式を表すものとする。
(以前、テンソルの記事で使っていたこの流儀とは違うので、要注意!)

もう一つ、添え字について補足。
i を上に書いているのは、特に意味はない。
空間成分だけでは、共変も反変も考えようがないので、
反変形式に合わせて形式的に上に書いているだけ。

これを相対論的に修正していこうというのが目標。

原理なので、どんな修正を行おうとも、
実験結果をうまく説明しさえすればよいわけですが、
なるべく自然な論理で修正したいというわけです。

もう一つ、重要な観点として、
速度が光速に比べて非常に小さい場合、
すなわち、v → 0 の極限では、
ニュートンの運動方程式 (1) に帰着しなければならない

という制約のもとで修正を行わなければならない。

そこで、慣性系 S に対して、速度 v で運動する質点を考える。
これを質点が静止して見えるような慣性系 S' から見てみる。
(つまり、S' は S に対して、速度 v で動いている系)

質点は S' に対しては静止しているのだから、
S' においては、ニュートンの運動方程式が成立しているはずである。
\[
m\frac{d^2 x'^i}{dt'^2} = F'^i
\tag{2}
\]

静止系においては、
\[
dt' = d\tau
\tag{3}
\]
であるから、dt' を固有時 dτ に置き換えることが可能である。
\[
m\frac{d^2 x'^i}{d\tau^2} = F'^i
\tag{4}
\]

これをさらに4元形式に拡張してみる( i をμに変えるだけ)
\[
m\frac{d^2 x'^\mu}{d\tau} = F'^\mu
\tag{5}
\]

この時、新たに追加することになった時間成分を見てみることにする。
\[
m\frac{d^2 x'^0}{d\tau^2} = F'^0
\]
は、
\[
m\frac{d^2 (ct')}{dt'^2} = F'^0
\]
となるから、明らかに
\[
F'^0 = 0
\tag{6}
\]
でなければ、成立しない。
というわけで、静止系 S' から見た場合の力 F' は、
3次元的な力 F' に時間成分として、0を付け加えたものにすればよい。
\[
F'^\mu = ( 0, {\bf F}')
\tag{7}
\]

・・と、ここまではずっと S' 系で考えてきましたが、
これを S 系に持っていくとどうなるでしょうか?

今回は論理展開に注意を払いながらやってるので、
じっくりと行きます。
というわけで、次回(笑)

参考文献
[1] 内山龍雄「相対性理論」(岩波物理テキストシリーズ)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2014/02/03 19:25
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