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新春!数学暗号クイズ 解答編 (1)

そろそろ、「新春!数学暗号クイズ」の解答を説明していきたいと思います。

長くなりそうなので、何回かに分けます^^;

問題は、こちら!
\[
-i^i Y \sum_{s=0}^\infty \frac{a^s}{s!} \int_0^\infty e^{\frac{\pi}{2}-t} \ t^r dt \\
- N \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1 + \frac{w}{n} \right)^n \\
+ 6\sum_{k=1}^\infty \frac{H}{k^2} \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a^n + 1} \left\{ \exp (p \ln p) \right\}^y \left( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right)^{-4}
\]
ただし、i 以外の数はすべて実数とする。( i は虚数単位)
r は 正の整数。
a > 1、p > 0 とする。


今日は、一番簡単そうな真ん中の項を説明します。
\[
- N \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1 + \frac{w}{n} \right)^n
\]

\( n/w = \nu \) と置くと、lim の部分は、
\[
\lim_{\nu\rightarrow\infty}\left\{\left( 1 + \frac{1}{\nu} \right)^\nu \right\}^w
\]

中括弧の中の極限は、ネイピア数 e の定義から、
\[
\lim_{\nu\rightarrow\infty} \left( 1 + \frac{1}{\nu} \right)^\nu = e
\]

さらに、関数 \( f(x) = x^w \) は連続であるから、
\[
\lim_{\nu\rightarrow\infty}\left\{\left( 1 + \frac{1}{\nu} \right)^\nu \right\}^w = e^w
\]

よって、真ん中の項全体は、
\[
- Ne^w
\]
となります。

簡単でしたね。
他の2項については、もう少し複雑ですが、続きは次回!
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>雑感 | コメント(0) | 2014/02/05 12:34
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