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相対論的運動方程式 (4)

前回得られた4元力の関係を使って、相対論的な運動方程式
\[
m \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} = f^\mu
\tag{1}
\]
を書き換えていきます。

まず、4元運動量
\[
p^\mu = mu^\mu = m\frac{dx^\mu}{d\tau}
\tag{2}
\]
を用いて、運動方程式 (1) は、
\[
\frac{dp^\mu}{d\tau} = f^\mu
\tag{3}
\]
と書き換えられる。
空間成分だけ考えると、i = 1,2,3 として、
\[
\frac{dp^i}{d\tau} = f^i
\tag{4}
\]
4元力とニュートン的な力の関係
\[
f^i = \gamma F^i
\tag{5}
\]
を適用すると、
\[
\frac{dp^i}{d\tau} = \gamma F^i
\tag{6}
\]
ここで、
\[
\gamma d\tau = dt
\tag{7}
\]
であることに注意すると、(6)式は
\[
\frac{dp^i}{dt} = F^i
\tag{8}
\]
と書ける。

ここまで来ると、分かりやすくなってきましたね。
ニュートンの運動方程式は、
\[
\frac{dP^i}{dt} = F^i
\tag{9}
\]
です。
相対論的な式との違いは、唯一、
4元運動量 p と3次元的な運動量 P の違いだけ。

この微妙な違いが大きな差異を生みます。
ということで、続きはその意味を考えていくことに・・・
(どこぞの民放番組みたいに引っ張りますね・・・笑)

参考文献
[1] 内山龍雄「相対性理論」(岩波物理テキストシリーズ)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2014/02/07 12:21
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