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光速の壁

修正された運動方程式の意味を考えていくことにします。

ニュートンの運動方程式は、
\[
\frac{dP^i}{dt} = F^i
\tag{1}
\]

修正された相対論的運動方程式(空間成分)は、
\[
\frac{dp^i}{dt} = F^i
\tag{2}
\]

違いは、3次元運動量 P か4元運動量 p かの違いだけ!

この違いは何かというと、
\[
{\bf P} = m{\bf v}
\tag{3}
\]\[
{\bf p} = \gamma m{\bf v} = \frac{m{\bf v}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}
\tag{4}
\]
だから、4元運動量にはγが掛かっているというだけの違い。

運動方程式の意味を考えると、
\[
dP^i = F^i dt
\tag{5}
\]
と変形してみると分かる通り、
運動量の変化 = 力積
ということを表している。
つまり、力を与えると、その力積(=力×時間)の分だけ運動量が変化していく。

ここで、運動量と速度の関係をグラフにしてみると、
3次元運動量は、このようになる。
Graph-3Dmomentum.jpg

速度が上がると、運動量は比例して増加していく。
力をずっと与え続けると、運動量はどんどん増加して行き、
そのうち光速を超えてしまう。

一方、4元運動量は、このようになる。
Graph-4Dmomentum.jpg

光速に近づくと、γの効果で無限大に発散してしまう。
つまり、光速に達するには、無限の運動量増加が必要となり、
有限の力では、光速に到達することはできない!

こうやってグラフを眺めると、
ほんとに光速のところに壁が立ちはだかっていて、
光速に達するのを阻んでいるのが視覚的に分かりやすいですね!

次からは、時間成分に着目して、
かの有名な E = mc2 の世界に入っていきたいと思っています。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>特殊相対論 | コメント(2) | 2014/02/14 12:52
コメント
目からウロコです
dyneさん
おはようございます。
これはわかりやすいです。
なるほど、ですね。
E=MC2も是非期待しています。
ST Rockerさんへ
分かりやすかったですか?
そう言っていただけると、この記事を書いた甲斐があり、とても嬉しいです^^
相対論は難しそうで、こういう風にグラフにしてみると、
実は意外と単純なことなんですよね!

E=mc^2 もどれだけ簡単に説明できるかなとよく考えてはいるのですが、
ここまで単純に説明するのは難しいかもしれません。
でも、なるべく簡単に説明できる論理展開を考えてみたいと思います。

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