スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

時間依存摂動論

話が突然、飛びますが・・・
仕事でちょっと思い出したくなって、時間依存摂動論を復習します。
教科書はシッフ[1]。

定常的なハミルトニアン $H_0$ に時間変化する摂動 $H'(t)$を与える場合を考える。
孤立原子に電磁波(光)を当てるような場合が典型例。
系全体のハミルトニアンは、
\[
H = H_0 + H'
\tag{1}
\]
摂動のない場合の固有値と固有状態は分かっているとして、
\[
H_0 |k\rangle = E_k |k\rangle
\tag{2}
\]

状態の時間発展は、時間依存シュレディンガー方程式に従う。
\[
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\alpha(t)\rangle = H|\alpha(t)\rangle
\tag{3}
\]

状態を固有状態で展開して、展開係数の時間発展を求める方針で行く。
\[
|\alpha(t)\rangle = \sum_n a_n(t) e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle
\tag{4}
\]

(4)と(1)を(3)に代入。
\[
\sum_n \{ i\hbar \dot{a}_n + a_nE_n \} e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle
= \sum_n a_n (H_0 + H') e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle
\tag{5}
\]
(2)を用いて、
\[
\sum_n i\hbar \dot{a}_n e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle
= \sum_n a_n e^{-iE_nt/\hbar} H' |n\rangle
\tag{6}
\]
両辺に $\langle k|$を乗じると、固有状態の直交性から、
\[
i\hbar \dot{a}_k e^{-iE_kt/\hbar}
= \sum_n a_n e^{-iE_nt/\hbar} \langle k| H' |n\rangle
\tag{7}
\]

固有状態間のボーア振動数を
\[
\hbar \omega_{kn} = E_k - E_n
\tag{8}
\]
で定義すると、展開係数の時間発展を決める方程式は、
\[
\dot{a}_k = \frac{1}{i\hbar} \sum_n a_n e^{i\omega_{kn}t} \langle k| H' |n\rangle
\tag{9}
\]
となる。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
スポンサーサイト
ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
時間依存摂動論 | コメント(0) | 2014/02/18 12:16
コメント

管理者のみに表示

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。