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一次の時間依存摂動論

前回の結果。

固有状態で展開した係数の時間発展。
\[
\dot{a}_k = \frac{1}{i\hbar} \sum_n a_n e^{i\omega_{kn}t} \langle k| H' |n\rangle
\tag{1}
\]

微小な摂動に対する応答を調べるために、
H' を λH' と置き換え、
展開係数をλのべき級数で表す。
\[
a_n = a_n^{(0)} + \lambda a_n^{(1)} + \lambda^2 a_n^{(2)} + \cdots
\tag{2}
\]

これらを(1)に代入して、λのべきの係数を比較すると、
\[
\dot{a}_k^{(0)} = 0
\tag{3.1}
\]\[
\dot{a}_k^{(s+1)} = \frac{1}{i\hbar} \sum_n a_n^{(s)} e^{i\omega_{kn}t} \langle k| H' |n\rangle
\tag{3.2}
\]
漸化式の形になっているので、
$a_n^{(0)}$から順に逐次積分して、係数を求めていくことが原理的には可能。

まず、一次のオーダーを考える。

無摂動の初期状態として、|m> の状態にあったと仮定する。
\[
a_k^{(0)} = \delta_{km}
\tag{4}
\]
(3.1)から0次の係数は一定。

1次の係数の時間発展は、(3.2)から
\[
\dot{a}_k^{(1)} = \frac{1}{i\hbar} e^{i\omega_{km}t} \langle k| H' |m\rangle
\tag{5}
\]
積分すると、1次の係数が求まる。
\[
a_k^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t e^{i\omega_{km}t'} \langle k| H'(t') |m\rangle dt'
\tag{6}
\]
すなわち、摂動が有限時間ならば、
摂動終了後の 状態 k の振幅は、
行列要素 < k | H' | m >の振動数ωkmでのフーリエ成分に比例する。


ということは、H' として振動数ωの電磁波(光)を与えてやると、
ボーアの振動数条件
\[
\hbar\omega_{km} = E_k - E_m
\tag{7}
\]
を満足するエネルギー準位に遷移が起きる確率が増すということですね!
まさに、ボーアの前期量子論の描像がそのまま式になった感じ。
だいぶ、イメージがつかめてきました。

次回は、実際に、電磁波のような調和振動的な摂動を考えていきます。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
時間依存摂動論 | コメント(0) | 2014/02/18 19:01
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