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調和振動的な摂動

電磁波のような調和振動的な摂動を考えてみます。
\[
H'(t) = 2 H' \sin\omega t
\tag{1}
\]

ただし、H' の部分は時間を含まない。
さらに、摂動は、$t=0$ でスタートし、$t=t_0$ でストップすると仮定する。

(1)の摂動を一次の係数
\[
a_k^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t e^{i\omega_{km}t'} \langle k| H'(t') |m\rangle dt'
\tag{2}
\]
に代入。

\[
a_k^{(1)}(t\geq t_0) = -\frac{1}{\hbar} \int_0^{t_0}
\left[ e^{i(\omega_{km}+\omega)t'} - e^{i(\omega_{km}-\omega)t'} \right]
\langle k| H'|m\rangle dt'
\]
積分を実行して、
\[
a_k^{(1)}(t\geq t_0) = -\frac{\langle k| H'|m\rangle}{i\hbar}
\left[
\frac{e^{i(\omega_{km}+\omega)t_0}-1}{\omega_{km}+\omega}
- \frac{e^{i(\omega_{km}-\omega)t_0}-1}{\omega_{km}-\omega}
\right]
\tag{3}
\]

第1項は、$E_k = E_m - \hbar\omega$
第2項は、$E_k = E_m + \hbar\omega$
のときのみ、大きな値になるので、

プランクの量子 $\hbar\omega$の放出と吸収を表していることになる。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
時間依存摂動論 | コメント(0) | 2014/02/19 15:58
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