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電磁場中の荷電粒子のラグランジアン

「電磁場のラグランジアン」ではありません。
厳密にいうと・・・
電磁場中を運動する荷電粒子の古典的運動を支配するラグランジアンです。

比較的最近まで、この両者を混同してました^^;

「電磁場のラグランジアン」というのは、
場の理論で出てくるのですが、
オイラー・ラグランジュ(EL)方程式を立てた時に、
それがマックスウェル方程式になるようなもの。


このラグランジアンから
ハミルトニアンを作ると、
電磁場自体のエネルギーが出てきます。

(真空中でも存在するエネルギー)

・・・というのが今のところの僕の理解。
(ちゃんと理解してないので、間違ってるかもしれません)

一方、今回扱おうとしているラグランジアンは、
EL方程式を立てると、ローレンツ力による運動方程式になるようなもの。
ハミルトニアンを作ると、荷電粒子の持つエネルギーが出てきます。

全然、違いますよね!
でも、これ混同していた人、僕だけじゃないんじゃないかな?
結構分かりにくいんですよね。

これ区別しておかないと、
場の量子論で、光と物質の相互作用を考える時に、
粒子のハミルトニアンと電磁場のハミルトニアンが両方合わさったものが出てきて、
なんのこっちゃ?となるんですよ(汗)

前置きが長くなりました。

今回は、いきなり天下りで恐縮なのですが、
電荷 +e の荷電粒子の電磁場(φ, A)中のラグランジアンは以下のようになります。
\[
L = \frac{m}{2}{\bf v}^2 - e\phi + \frac{e}{c}{\bf v}\cdot{\bf A}
\tag{1}
\]
単位系はへヴィサイド・ローレンツです(CGSでも同じ)。

ローレンツ力のニュートン方程式から変形を重ねて、
ラグランジアンを推測していく方法もあるんだとは思いますが、
面倒なので、天下りで与えたラグランジアンからEL方程式を立てて、
ニュートン方程式になることを確認することにします。

こういうラグランジアンを初めに考える人は偉いですね!(笑)

まずは、一般化(正準)運動量を求める。
\[
p_x = \frac{\partial L}{\partial v_x} = mv_x + \frac{e}{c}A_x
\]
などから、
\[
{\bf p} = m{\bf v} + \frac{e}{c}{\bf A}
\tag{2}
\]
となる。
力学的運動量 $m{\bf v}$ に対して、$e{\bf A}/c$ という付加項がつく。

次に、一般化力を計算。x 成分は・・・
\[
\frac{\partial L}{\partial x}
= -e\frac{\partial \phi}{\partial x}
+ \frac{e}{c} \left[
v_x \frac{\partial A_x}{\partial x}
+ v_y \frac{\partial A_y}{\partial x}
+ v_z \frac{\partial A_z}{\partial x}
\right]
\tag{3}
\]

x 成分に対するEL方程式
\[
\frac{dp_x}{dt} = \frac{\partial L}{\partial x}
\tag{4}
\]
を立てると、
\[
\frac{d}{dt}\left( mv_x + \frac{e}{c}A_x \right)
= -e\frac{\partial \phi}{\partial x}
+ \frac{e}{c} \left[
v_x \frac{\partial A_x}{\partial x}
+ v_y \frac{\partial A_y}{\partial x}
+ v_z \frac{\partial A_z}{\partial x}
\right]
\tag{5}
\]

ここで、右辺の d/dt は粒子の運動に沿った変化ということを考慮して、
粒子の位置が変化することによるポテンシャル A の変化も考えなければならない。
\[
\frac{dA_x}{dt}
= v_x \frac{\partial A_x}{\partial x}
+ v_y \frac{\partial A_x}{\partial y}
+ v_z \frac{\partial A_x}{\partial z}
+ \frac{\partial A_x}{\partial t}
\tag{6}
\]
これを用いると、(5)式は
\[
m\frac{dv_x}{dt} = -e\frac{\partial \phi}{\partial x}
- \frac{e}{c} \frac{\partial A_x}{\partial t}
+ \frac{e}{c} \left[
v_y \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)
- v_z \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right)
\right]
\tag{7}
\]
と変形できる。
電磁場のポテンシャル表現
\[
{\bf E} = -\nabla\phi - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{8.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{8.2}
\]
を用いると、(7)式は、
\[
m\frac{dv_x}{dt} = e E_x + \frac{e}{c} ({\bf v}\times{\bf B})_x
\tag{9}
\]
他の成分についても同様に計算すると、
\[
m\frac{d{\bf v}}{dt} = e {\bf E} + \frac{e}{c}{\bf v}\times{\bf B}
\tag{10}
\]
となり、ローレンツ力によるニュートンの運動方程式が正しく得られることが確認できた。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/02/25 18:51
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