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電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン

前回のラグランジアンからハミルトニアンを作っていきます。

ラグランジアンからハミルトニアンを作るには、
こちらの記事でみたとおり、
\[
H = {\bf p}\cdot{\bf v} - L
\tag{1}
\]
とすればよい。

ラグランジアンは、
\[
L = \frac{m}{2}{\bf v}^2 - e\phi + \frac{e}{c}{\bf v}\cdot{\bf A}
\tag{2}
\]

一般化運動量は、
\[
{\bf p} = m{\bf v} + \frac{e}{c}{\bf A}
\tag{3}
\]
これを v について逆に解いて、
\[
{\bf v} = \frac{1}{m}\left( {\bf p} - \frac{e}{c}{\bf A} \right)
\tag{4}
\]
(2)と(4)を(1)に代入して、整理すると、ハミルトニアンの表式ができあがる。
\[
H = \frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 + e\phi
\tag{5}
\]

このハミルトニアンに、再び(4)を代入してみると、
\[
H = \frac{m}{2}{\bf v}^2 + e\phi
\tag{6}
\]
となるから、期待通り、
「運動エネルギー+位置エネルギー」となっていることが分かる。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/02/26 00:48
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