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電磁場中の荷電粒子の正準運動量

電磁場中の荷電粒子の正準運動量
\[
{\bf p} = m{\bf v} + \frac{e}{c}{\bf A}
\tag{1}
\]
の物理的意味について考察します。

完全に我流な解釈なので、ご注意ください!

一見、eA/c という妙な付加項がついていて、何だろう?と思うのですが、
電磁場が空間的に一様である場合を仮定すると、
意味が分かりやすくなります。

すなわち、静電場は存在しないとして、
さらに、磁場も存在しないとします。

通常の強度の電磁波で、通常の速度の電荷が磁場から受ける力は弱く、
さらに、長波長の電磁波だと、空間的な電場の変化も無視できるので、
わりと妥当な想定だと思われます。

電磁場が一様であると仮定して、EL方程式を立ててみると、
\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = m\frac{d{\bf v}}{dt} + \frac{e}{c}\frac{d{\bf A}}{dt} = 0
\tag{2}
\]
ここで、
\[
\frac{d\bf A}{dt} = \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{3}
\]
だから、(2)式は、
\[
\frac{d{\bf p}}{dt} = m\frac{d{\bf v}}{dt} - e{\bf E} = 0
\tag{4}
\]
となります。この電場の項を右辺に移せば、
\[
m\frac{d{\bf v}}{dt} = e{\bf E}
\tag{5}
\]
単純に、電場から力を受けている状態を示す運動方程式ですね。

つまり、(4)式は、
「電場の影響を織り込んだ運動量」が
電場以外の外力がないため、保存している

という様子を表しているように読めます。

ここでいう正準運動量とは、
「電場の効果が織り込まれた運動量」のようなイメージになりそうです。

もちろん、「正準運動量」という概念は、正準変換や正準量子化との関係で
もっと深い抽象的な概念であることは承知していますが、
今回のケース限定では、具体的にこういうイメージを持つとイメージしやすいかなと思っています。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>古典力学 | コメント(0) | 2014/02/26 12:29
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