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積分公式 ∫ x^n exp(-ax) dx

この記事で用いた積分公式の証明です。

公式
Re a > 0 とする。
\[
\int_0^\infty x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}
\tag{1}
\]

証明
部分積分を使うのも一案ですが、別の方法で証明してみます。

まずは、以下の積分を考える。
\[
\int_0^\infty e^{-ax} dx
= \left[\frac{e^{-ax}}{-a} \right]_0^\infty
= \frac{1}{a}
\tag{2}
\]
両辺を a で n 回微分する。
\[
\int_0^\infty (-x)^n e^{-ax} dx
= \frac{(-n)(-n+1)\cdots(-1)}{a^{n+1}}
\]
よって、
\[
(-1)^n \int_0^\infty x^n e^{-ax} dx
= (-1)^n \frac{n!}{a^{n+1}}
\]
となり、証明したい式が得られる。

(証明終了)


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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>公式 | コメント(0) | 2014/02/26 19:16
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